Transformées en ondelettes continues et discrètes

Cette rubrique décrit les principales différences entre la transformée en ondelettes continue (CWT, Continuous Wavelet Transform) et la transformée en ondelettes discrète (DWT, Discrete Wavelet Transform) – en versions décimée et non décimée. cwt est une version discrétisée de la CWT afin qu'elle puisse être implémentée dans un environnement de calcul. Cette discussion se concentre sur le cas 1-D, mais est applicable aux dimensions supérieures.

La transformée en ondelettes cwt compare un signal avec des copies translatées et mises à l'échelle (étirées ou rétrécies) d'une ondelette de base. Si $ψ (t)$ est une ondelette centrée sur t=0 avec support temporel sur [-T/2, T/2], alors $\frac{1}{s} ψ (\frac{t - u}{s})$ est centrée sur t = u avec support temporel [-sT/2+u, sT/2+u]. La fonction cwt utilise la normalisation L1 afin que toutes les amplitudes de fréquence soient normalisées à la même valeur. Si 0<s<1, l'ondelette est contractée (rétrécie) et si s>1, l'ondelette est étirée. Le terme mathématique qui correspond à cela est la dilatation. Voir Transformée en ondelettes continue et analyse à l'échelle pour des exemples de la manière dont cette opération extrait les caractéristiques du signal en le faisant correspondre à des ondelettes dilatées et translatées.

La principale différence entre la CWT et les transformées en ondelettes discrètes, telles que les dwt et modwt, est la manière dont le paramètre d'échelle est discrétisé. La CWT discrétise l'échelle plus finement que la transformée en ondelettes discrète. Dans la CWT, on fixe généralement une base qui est une puissance fractionnaire de deux, par exemple, $2^{1 / v}$ où v est un nombre entier supérieur à 1. Le paramètre v est souvent désigné comme le nombre de « voix par octave ». Des échelles différentes sont obtenues en élevant cette échelle de base à des puissances entières positives, par exemple $2^{j / v} j = 1, 2, 3, \dots$ . Le paramètre de translation dans la CWT est discrétisé en valeurs entières, désignées ici par m. Les ondelettes discrétisées résultantes pour la CWT sont

$\frac{1}{2^{j / ν}} ψ (\frac{n - m}{2^{j / v}}) .$

La raison pour laquelle on parle de v comme du nombre de voix par octave s'explique par le fait que l'augmentation de l'échelle d'une octave (un doublement) nécessite des échelles intermédiaires v. Prenez par exemple $2^{v / v} = 2$ et augmentez le numérateur dans l'exposant jusqu'à atteindre 4, l'octave suivante. Vous passez de $2^{v / v} = 2$ à $2^{2 v / v} = 4$ . Il y a v étapes intermédiaires. Des valeurs telles que 10, 12, 14, 16 et 32 sont courantes pour v. Plus la valeur de v est grande, plus la discrétisation du paramètre d'échelle, s, est fine. Cependant, cela augmente également la quantité de calculs nécessaires, car la CWT doit être calculée pour chaque échelle. La différence entre les échelles sur une échelle log₂ est 1/v. Voir CWT-Based Time-Frequency Analysis et Continuous Wavelet Analysis of Modulated Signals pour des exemples de vecteurs d'échelle avec la CWT.

Dans la transformée en ondelettes discrète, le paramètre d'échelle est toujours discrétisé en puissances entières de 2, 2^j, j=1,2,3,..., de sorte que le nombre de voix par octave soit toujours de 1. La différence entre les échelles sur une échelle log₂ est toujours égale à 1 pour les transformées en ondelettes discrètes. Notez qu'il s'agit d'un échantillonnage beaucoup plus grossier du paramètre d'échelle, s, que dans le cas de la CWT. En outre, dans la transformée en ondelettes discrète (DWT) décimées (sous-échantillonnée), le paramètre de translation est toujours proportionnel à l'échelle. Cela signifie qu'à l'échelle, 2^j, vous effectuez toujours une translation de 2^jm où m est un nombre entier non négatif. Dans les transformées en ondelettes discrètes non décimées comme modwt et swt, le paramètre d'échelle est limité aux puissances de deux, mais le paramètre de translation est un nombre entier comme dans la CWT. L'ondelette discrétisée pour la DWT prend la forme suivante

$\frac{1}{\sqrt{2^{j}}} ψ (\frac{1}{2^{j}} (n - 2^{j} m)) .$

L'ondelette discrétisée pour la transformée en ondelettes discrète non décimée, telle que la MODWT, est

$\frac{1}{\sqrt{2^{j}}} ψ (\frac{n - m}{2^{j}}) .$

En résumé :

La CWT et les transformées en ondelettes discrètes diffèrent dans la manière dont elles discrétisent le paramètre d'échelle. La CWT utilise généralement des échelles exponentielles dont la base est inférieure à 2, par exemple 2^1/12 . La transformée en ondelettes discrète utilise toujours des échelles exponentielles dont la base est égale à 2. Les échelles de la transformée en ondelettes discrète sont des puissances de 2. N'oubliez pas que l'interprétation physique des échelles pour les transformées CWT et en ondelettes discrètes nécessite l'inclusion de l'intervalle d'échantillonnage du signal s'il n'est pas égal à un. Par exemple, supposons que vous utilisez la CWT et que vous définissez votre base à $s_{0} = 2^{1 / 12}$ . Pour donner une signification physique à cette échelle, il faut multiplier par l'intervalle d'échantillonnage $Δ t$ , de sorte qu'un vecteur d'échelle couvrant approximativement quatre octaves avec l'intervalle d'échantillonnage pris en compte soit $s_{0}^{j} Δ t j = 1, 2, \dots 48$ . Notez que l'intervalle d'échantillonnage multiplie les échelles, il n'est pas dans l'exposant. Pour les transformées en ondelettes discrètes, l'échelle de base est toujours de 2.
Les transformées en ondelettes discrètes décimées et non décimées diffèrent dans la manière dont elles discrétisent le paramètre de translation. La transformée en ondelettes discrète décimée (DWT) est toujours translatée par un entier multiple de l'échelle, 2^jm . La transformée en ondelettes discrète non décimée est translatée par des décalages entiers.

Ces différences dans le mode de discrétisation de l'échelle et de la translation entraînent des avantages et des inconvénients pour les deux types de transformées en ondelettes. Ces différences déterminent également les cas d'utilisation où une transformée en ondelettes est susceptible de fournir des résultats supérieurs. Certaines conséquences importantes de la discrétisation du paramètre d'échelle et de translation sont :

La DWT offre une représentation parcimonieuse pour de nombreux signaux naturels. En d'autres termes, les caractéristiques importantes de nombreux signaux naturels sont capturées par un sous-ensemble de coefficients DWT qui est généralement beaucoup plus petit que le signal original. Cela « compresse » le signal. Avec la DWT, vous obtenez toujours le même nombre de coefficients que le signal d'origine, mais de nombreux coefficients peuvent avoir des valeurs proche de zéro. Par conséquent, vous pouvez souvent vous débarrasser de ces coefficients tout en conservant une approximation du signal de haute qualité. Avec la CWT, on passe de N échantillons pour un signal de longueur N à une matrice M par N de coefficients, M étant égal au nombre d'échelles. La CWT est une transformée hautement redondante. Il existe un chevauchement important entre les ondelettes à chaque échelle et entre les échelles. Les ressources informatiques nécessaires pour calculer la CWT et stocker les coefficients sont beaucoup plus importantes que celles de la DWT. La transformée en ondelettes discrète non décimée est également redondante, mais le facteur de redondance est généralement nettement inférieur à celui de la CWT, car le paramètre d'échelle n'est pas discrétisé si finement. Pour la transformée en ondelettes discrète non décimée, on passe de N échantillons à une matrice de coefficients de L+1 par N où L est le niveau de la transformée.
La discrétisation stricte de l'échelle et de la translation dans la DWT garantit que la DWT est une transformée orthonormale (lorsqu'on utilise une ondelette orthogonale). Les transformées orthonormales présentent de nombreux avantages dans l'analyse du signal. De nombreux modèles de signaux consistent en un signal déterministe et en un bruit blanc gaussien. Une transformée orthonormale prend ce type de signal et produit la transformée appliquée au signal plus un bruit blanc. En d'autres termes, une transformée orthonormale prend un bruit blanc gaussien et délivre un bruit blanc gaussien. Le bruit n'est pas corrélé à l'entrée et à la sortie. Ceci est important dans de nombreux contextes de traitement statistique du signal. Dans le cas de la DWT, le signal traité est généralement capturé par quelques coefficients DWT de grande amplitude, tandis que le bruit se traduit par de nombreux petits coefficients DWT que vous pouvez ignorer. Si vous avez étudié l'algèbre linéaire, vous avez sans doute appris les nombreux avantages de l'utilisation des bases orthonormales dans l'analyse et la représentation des vecteurs. Les ondelettes de la DWT sont comme des vecteurs orthonormaux. Ni la CWT ni la transformée en ondelettes discrète non décimée ne sont des transformées orthonormales. Les ondelettes de la CWT et de la transformée en ondelettes discrète non décimée sont techniquement appelées trames, ce sont des ensembles linéairement dépendants.
La DWT n'est pas invariante en translation. Comme la DWT sous-échantillonne, un décalage dans le signal d'entrée ne se manifeste pas par un simple décalage équivalent à tous les niveaux dans les coefficients DWT. Un simple décalage d'un signal peut entraîner un réalignement important de l'énergie du signal dans les coefficients DWT par échelle. La CWT et la transformée en ondelettes discrète non décimée sont invariantes en translation. Il existe certaines modifications de la DWT, comme la transformée en ondelettes discrète complexe en arbre dual, qui atténuent l'absence d'invariance en translation ; veuillez consulter Critically Sampled and Oversampled Wavelet Filter Banks pour un support conceptuel sur ce sujet et Dual-Tree Complex Wavelet Transforms pour un exemple.
Les transformées en ondelettes discrètes sont équivalentes à des bancs de filtres discrets. Plus précisément, il s'agit de bancs de filtres discrets structurés en arborescence où le signal est d'abord filtré par un filtre passe-bas et un filtre passe-haut pour produire des sous-bandes passe-bas et passe-haut. Ensuite, la sous-bande passe-bas est filtrée de manière itérative par le même procédé pour obtenir des sous-bandes passe-bas et passe-haut plus étroites en bande d'octave. Dans la DWT, les sorties des filtres sont sous-échantillonnées à chaque étape successive. Dans la transformée en ondelettes discrète non décimée, les sorties ne sont pas sous-échantillonnées. Les filtres qui définissent les transformées en ondelettes discrètes n'ont généralement qu'un petit nombre de coefficients, de sorte que la transformée puisse être implémentée très efficacement. Pour la DWT et la transformée en ondelettes discrète non décimée, vous n'avez pas besoin de définir l'ondelette par une expression. Les filtres suffisent. Ce n'est pas le cas avec la CWT. L'implémentation la plus courante de la CWT nécessite que l'ondelette soit explicitement définie. Même si la transformée en ondelettes discrète non décimée ne déséchantillonne pas le signal, l'implémentation du banc de filtres permet d'obtenir de bonnes performances de calcul, même si elles ne sont pas aussi bonnes que celles de la DWT.
Les transformées en ondelettes discrètes permettent une reconstruction parfaite du signal lors de l'inversion. Cela signifie que vous pouvez prendre la transformée en ondelettes discrète d'un signal, puis utiliser les coefficients pour synthétiser une reproduction exacte du signal avec une précision numérique. Vous pouvez implémenter une CWT inverse, mais il arrive souvent que la reconstruction ne soit pas parfaite. La reconstruction d'un signal à partir des coefficients CWT est une opération numérique beaucoup moins stable.
L'échantillonnage plus fin des échelles dans la CWT donne généralement lieu à une analyse du signal de plus grande fidélité. Vous pouvez mieux localiser les transitoires dans votre signal, ou caractériser le comportement oscillatoire avec la CWT qu'avec les transformées en ondelettes discrètes.

Pour de plus amples informations sur les transformées en ondelettes et leurs applications, veuillez consulter

Recommandations pour choisir entre la transformée en ondelettes continue et la transformée en ondelettes discrète

Sur la base de la rubrique précédente, voici quelques directives de base pour choisir entre les transformées en ondelettes discrète et continue.

Si votre application consiste à obtenir la représentation la plus claire possible du signal pour la compression, le débruitage ou la transmission du signal, utilisez la DWT avec wavedec.
Si votre application nécessite une transformée orthonormale, utilisez la DWT avec l'un des filtres d'ondelettes orthogonaux. Les familles orthogonales dans Wavelet Toolbox™ sont désignées comme des ondelettes de type 1 dans le gestionnaire d'ondelettes, wavemngr. Les familles d'ondelettes orthogonales prédéfinies et valides sont : Daubechies bien localisées ("bl"), Beylkin ("beyl"), Coiflets ("coif"), Daubechies ("db"), Fejér-Korovkin ("fk"), Haar ("haar"), moments à phase linéaire de Han ("han"), bande passante minimum de Morris ("mb"), Symlets ("sym"), et Vaidyanathan ("vaid"). Pour une liste des ondelettes de chaque famille, voir wfilters. Vous trouverez de plus amples informations sur Choisir une ondelette et waveinfo.
Si votre application nécessite une transformée invariante en translation mais que vous avez besoin d'une reconstruction parfaite et d'une certaine efficacité de calcul, essayez une transformée en ondelettes discrète non décimée comme modwt ou une transformée en arbre dual comme dualtree.
Si votre objectif principal est une analyse temps-fréquence (échelle) détaillée ou une localisation précise des transitoires du signal, utilisez cwt. Pour un exemple d'analyse temps-fréquence avec la CWT, veuillez consulter CWT-Based Time-Frequency Analysis.
Pour débruiter un signal par seuillage des coefficients d'ondelettes, utilisez la fonction wdenoise ou l'application Wavelet Signal Denoiser. wdenoise et Wavelet Signal Denoiser proposent des paramètres par défaut qui peuvent être appliqués à vos données ainsi qu'une interface simple pour une variété de méthodes de débruitage. Grâce à l'application, vous pouvez visualiser et débruiter les signaux, et comparer les résultats. Vous trouverez des exemples de débruitage d’un signal dans Denoise A Signal Using Default Values et Denoise a Signal with the Wavelet Signal Denoiser. Pour le débruitage des images, utilisez wdenoise2. Pour un exemple, veuillez consulter Denoising Signals and Images.
Si votre application exige que vous ayez une solide compréhension des propriétés statistiques des coefficients d'ondelettes, utilisez une transformée en ondelettes discrète. Des travaux sont en cours pour comprendre les propriétés statistiques de la CWT, mais il existe actuellement beaucoup plus de résultats distributifs pour les transformées en ondelettes discrètes. Le succès de la DWT dans le débruitage est largement dû à notre compréhension de ses propriétés statistiques. Pour un exemple d'estimation et de test d'hypothèse utilisant une transformée en ondelettes discrète non décimée, veuillez consulter Wavelet Analysis of Financial Data.

Transformées en ondelettes continues et discrètes

Recommandations pour choisir entre la transformée en ondelettes continue et la transformée en ondelettes discrète

Exemples associés

En savoir plus