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Transformée en ondelettes continue inverse

La fonction icwt implémente la CWT inverse. L'utilisation de icwt exige que vous obteniez la CWT de cwt.

La CWT étant une transformée redondante, il n'existe pas une méthode unique pour définir l'inverse. La CWT inverse implémentée dans Wavelet Toolbox™ utilise des ondelettes analytiques et la normalisation L1.

La CWT inverse est classiquement présentée sous la forme d'une double-intégrale. Supposons que vous ayez une ondelette ψ avec une transformée de Fourier qui satisfait à la condition d'admissibilité :

Cψ=|ψ(ω)|2|ω|dω<

Pour les ondelettes satisfaisant la condition d'admissibilité et les fonctions à énergie finie, f(t), vous pouvez définir la CWT inverse comme :

f(t)=1Cψab<f(t),ψa,b(t)>ψa,b(t)dbdaa

ψa,b(t)=1aψ(tba).

Pour les ondelettes analysantes et les fonctions satisfaisant la condition suivante, il existe une formule d'intégrale unique pour la CWT inverse.

  • La fonction analysée, f(t), est une fonction d’énergie finie et la transformée de Fourier de l'ondelette analysante n'a de support que sur l'ensemble des fréquences non négatives. C'est ce qu'on appelle une ondelette analytique. Une fonction dont la transformée de Fourier n'a de support que sur l'ensemble de fréquences non négatives doit être à valeur complexe.

Les ondelettes supportées par cwt sont analytiques.

Pour motiver la formule d'intégrale unique, soit ψ1 et ψ2 deux ondelettes qui satisfont la condition d'admissibilité de deux ondelettes suivante :

|ψ1*(ω)||ψ2(ω)||ω|dω<

Définissez la constante :

Cψ1,ψ2=ψ1*(ω)ψ2(ω)|ω|dω

La constante ci-dessus peut être à valeur complexe. Soit f(t) et g(t) deux fonctions d'énergie finie. Si la condition d'admissibilité des deux ondelettes est satisfaite, l'égalité suivante est respectée :

Cψ1,ψ2<f,g>=<f,ψ1><g,ψ2>*dbdaa

où < , > désigne le produit scalaire, * désigne le conjugué complexe, et la dépendance de ψ1 et ψ2 par rapport à l'échelle et à la position a été supprimée par commodité.

La clé de la formule en intégrale unique pour la CWT inverse est de reconnaître que la condition d'admissibilité de deux ondelettes peut être satisfaite même si l'une des ondelettes n'est pas admissible. En d'autres termes, il n'est pas nécessaire que ψ1 et ψ2 soient toutes deux admissibles séparément. Vous pouvez également assouplir davantage les exigences en autorisant l'une des fonctions et des ondelettes à être des distributions. En laissant d'abord g(t) être la fonction delta de Dirac (une distribution) et en permettant également à ψ2 d'être la fonction delta de Dirac, vous pouvez dériver la formule en intégrale unique pour la CWT inverse.

  • Si f(t) est à valeur réelle,

    f(t)=2Re{1Cψ1,δ0<f(t),ψ1(t)>daa}

    Re{ } désigne la partie réelle.

  • Si f(t) est à valeur complexe,

    f(t)=2Cψ1,δ<f(t),ψ1(t)>daa.

Les équations précédentes démontrent que vous pouvez reconstruire le signal en additionnant les coefficients CWT sur toutes les échelles.

En additionnant les coefficients CWT de certaines échelles, vous obtenez une approximation du signal d'origine. Ceci est utile dans les situations où votre phénomène d'intérêt est localisé à l'échelle.

La fonction icwt implémente une version discrétisée des intégrales ci-dessus. Vous pouvez également utiliser des filtres d’analyse extraits d’un objet cwtfilterbank pour inverser la CWT. Dans ce cas, icwt utilise les filtres de synthèse approximés, ou double trame, dans l'inversion.