Reconstruction par ondelettes à échantillonnage critique

Nous avons appris comment la transformée en ondelettes discrète peut être utilisée pour analyser, ou décomposer, les signaux et les images. Ce processus est appelé décomposition ou analyse. Il s'agit maintenant de découvrir comment ces composants peuvent être réassemblés dans le signal d'origine sans perte d'information. Ce processus est appelé reconstruction, ou synthèse. La manipulation mathématique qui effectue la synthèse s'appelle la transformée en ondelettes discrète inverse (IDWT).

Pour synthétiser un signal à l'aide du software Wavelet Toolbox™, on le reconstruit à partir des coefficients d'ondelettes.

Alors que l'analyse par ondelettes implique le filtrage et le sous-échantillonnage, le processus de reconstruction par ondelettes consiste en un suréchantillonnage et un filtrage. Le suréchantillonnage est le processus qui consiste à allonger une composante du signal en insérant des zéros entre les échantillons.

La toolbox comprend des commandes, comme idwt et waverec, qui effectuent respectivement une reconstruction à un ou plusieurs niveaux sur les composantes des signaux 1-D. Ces commandes ont leurs analogues 2-D et 3-D, idwt2, waverec2, idwt3, et waverec3.

Filtres de reconstruction

La partie filtrage du processus de reconstruction mérite également une discussion, car le choix des filtres est crucial pour obtenir une reconstruction parfaite du signal d'origine.

Le sous-échantillonnage des composantes du signal effectué pendant la phase de décomposition introduit une distorsion appelée aliasing. Il s'avère qu'en choisissant soigneusement des filtres pour les phases de décomposition et de reconstruction qui sont étroitement liées (mais pas identiques), nous pouvons « annuler » les effets d'aliasing.

Une discussion technique sur le mode de conception de ces filtres est disponible à la page 347 du livre Wavelets and Filter Banks, par Strang et Nguyen. Les filtres de décomposition passe-bas et passe-haut (L et H), ainsi que leurs filtres de reconstruction associés (L' et H'), forment un système de ce que l'on appelle des filtres miroirs en quadrature :

Reconstruction des approximations et des détails

Nous avons vu qu'il était possible de reconstruire notre signal d'origine à partir des coefficients des approximations et des détails.

Il est également possible de reconstruire les approximations et les détails eux-mêmes à partir de leurs vecteurs de coefficients. À titre d'exemple, imaginons comment nous reconstruirions l'approximation de premier niveau A1 à partir du vecteur de coefficients cA1.

Nous faisons passer le vecteur de coefficients cA1 par le même processus que celui utilisé pour reconstruire le signal d'origine. Cependant, au lieu de le combiner avec le détail de niveau un cD1, nous introduisons un vecteur de zéros à la place du vecteur de coefficients de détails :

Le processus donne une approximation A1 reconstruite, qui a la même longueur que le signal d'origine S et qui en est une réelle approximation.

De même, nous pouvons reconstruire le détail de premier niveau D1, en utilisant le processus analogue :

Les détails et approximations reconstruits sont de véritables constituants du signal d'origine. En fait, nous constatons, en les combinant, que

A₁ + D₁ = S.

Notez que les vecteurs de coefficients cA1 et cD1 — parce qu'ils ont été produits par sous-échantillonnage et ne font que la moitié de la longueur du signal d'origine — ne peuvent pas être directement combinés pour reproduire le signal. Il est nécessaire de reconstruire les approximations et les détails avant de les combiner.

En étendant cette technique aux composantes d'une analyse multiniveau, nous constatons que des relations similaires existent pour toutes les composantes du signal reconstruit. Cela signifie qu'il existe plusieurs façons de reconstituer le signal d'origine :

Ondelettes des filtres à miroir conjugué

Dans la section Filtres de reconstruction, nous avons parlé de l'importance de choisir les bons filtres. En effet, le choix des filtres ne détermine pas seulement si une reconstruction parfaite est possible, il détermine également la forme de l'ondelette que nous utilisons pour effectuer l'analyse.

Pour construire une ondelette d'une certaine utilité pratique, on commence rarement par dessiner une forme d'onde. Il est généralement plus logique de concevoir les filtres miroir en quadrature appropriés, puis de les utiliser pour créer la forme d'onde. Voyons comment cela se passe en nous concentrant sur un exemple.

Considérons le filtre de reconstruction passe-bas (L') pour l'ondelette db2.

Les coefficients du filtre peuvent être obtenus à partir de la fonction dbaux. En inversant l'ordre du vecteur du filtre d'échelle et en multipliant chaque élément pair (indexation à partir de 1) par (-1), on obtient le filtre passe-haut.

Le suréchantillonnage répété par deux et la convolution de la sortie avec le filtre d'échelle produisent l'ondelette de phase extrême de Daubechies.

 L = dbaux(2);
 H = wrev(L).*[1 -1 1 -1];
 HU = dyadup(H,0);
 HU = conv(HU,L);
 plot(HU); title('1st Iteration');
 H1 = conv(dyadup(HU,0),L);
 H2 = conv(dyadup(H1,0),L);
 H3 = conv(dyadup(H2,0),L);
 H4 = conv(dyadup(H3,0),L);
 figure;
 for k =1:4
 subplot(2,2,k);
 eval(['plot(H' num2str(k) ')']);
 axis tight;
 end

La courbe commence à ressembler de plus en plus à l'ondelette db2. Cela signifie que la forme de l'ondelette est entièrement déterminée par les coefficients des filtres de reconstruction.

Cette relation a de profondes implications. Cela signifie que vous ne pouvez pas choisir n'importe quelle forme, l'appeler ondelette et effectuer une analyse. En tout cas, vous ne pouvez pas choisir une forme d'onde arbitraire si vous voulez être en mesure de reconstruire le signal d'origine avec précision. Vous êtes contraint de choisir une forme déterminée par des filtres de décomposition en miroir en quadrature.

Fonction d'échelle

Nous avons vu l'interrelation entre les ondelettes et les filtres miroir en quadrature. La fonction d'ondelette ψ est déterminée par le filtre passe-haut, qui produit également les détails de la décomposition en ondelettes.

Il existe une fonction supplémentaire associée à certaines ondelettes, mais pas à toutes. Il s’agit de la fonction d'échelle, ϕ. La fonction d'échelle est très similaire à la fonction d'ondelette. Elle est déterminée par les filtres miroir passe-bas en quadrature, et est donc associée aux approximations de la décomposition en ondelettes.

De la même manière que le suréchantillonnage et la convolution itératifs du filtre passe-haut produisent une forme proche de la fonction d'ondelette, le suréchantillonnage et la convolution itératifs du filtre passe-bas produisent une forme proche de la fonction d'échelle.