Réécrire l'histoire de la géométrie avec le traitement d'images et l'art ancien

Papaodysseus a une longue expérience dans l'utilisation de l'informatique et de MATLAB^®, pour résoudre des problèmes archéologiques. Au début, Papaodysseus a collaboré avec l'éminent archéologue Professeur Steven Tracy, alors directeur de l’American School of Classical Studies at Athens, afin de classer les inscriptions selon le sculpteur de pierre, c'est-à-dire l’écrivain qui a gravé une inscription. Une telle classification est d'une importance fondamentale pour l'histoire, étant donné qu'un sculpteur ne datait ni ne signait son œuvre, rendant ainsi la classification temporelle d'une inscription pratiquement impossible. Cependant, lorsque l'ensemble de l'œuvre d'un sculpteur de pierre est rassemblé, alors, en règle générale, un examen attentif de cet ensemble permet d'obtenir une date. Ainsi, en utilisant MATLAB et les mathématiques, Papaodysseus a réussi à attribuer plus de trente inscriptions à neuf écrivains distincts, avec un taux de réussite de 100 %."

« Il m’est venu à l’esprit que nous pourrions y parvenir grâce aux mathématiques modernes, à l’informatique et à MATLAB », explique Papaodysseus. Lui et son équipe, en collaboration avec le professeur de lettres classiques Christopher Blackwell, ont démontré que la même main avait écrit les deux documents. Le parlement grec a même fait appel à ses talents de détective pour identifier les auteurs d'autres documents mis au jour par les historiens.

« Avec MATLAB, nous pouvons aider les archéologues à établir une histoire plus complète et plus précise relative aux artefacts anciens », explique Papaodysseus.

L'histoire de cette fresque commence à Akrotiri, une ville du sud-ouest de Santorin, une île grecque de la mer Égée en Méditerranée. Vers 1620 av. J.-C., pendant la civilisation minoenne, une éruption volcanique massive a enseveli l'île sous des couches de pierre ponce et de cendres atteignant jusqu'à 20 mètres d'épaisseur. Cela a créé un riche trésor d’artefacts que la roche volcanique a préservé pendant des millénaires. Parmi les découvertes effectuées lors des fouilles se trouvaient des fragments brisés de peintures murales élaborées ou de fresques.

À la fin des années 1990, Papaodysseus a commencé à utiliser MATLAB pour analyser des fresques anciennes et développer des méthodes permettant d’assembler des centaines de fragments de peintures murales, y compris le réassemblage 2D et 3D. Une nuit, alors qu'il essayait d’associer des morceaux de fresques sur son ordinateur, il a vu quelque chose d'inattendu sur l'écran. L’image était celle d’une fille qu’il avait vue dans une autre fresque, « The Crocus Gathering ». Dans cette fresque, la jeune fille se penche vers une plante, mais avec cette dernière image d'elle désormais sur son écran, Papaodysseus a remarqué que la courbe de son dos ressemblait à une hyperbole.

Il y avait un problème : les premières descriptions d'hyperboles et d'autres sections coniques provenaient de penseurs remarquables de l'époque classique, tels que Ménaechme et Euclide, qui ont vécu vers 350-250 av. J.-C., soit plus de 1 300 ans après la création de cette fresque. L’idée était probablement « folle », se souvient Papaodysseus.

Papaodysseus voulait voir où ce « dos courbé comme une hyperbole » pourrait le mener. Après son observation décisive, Papaodysseus a passé les mois suivants à créer une méthode dans MATLAB pour tester son hypothèse. Il a développé un algorithme de segmentation d’images capable d’isoler les contours individuels des images dans une chaîne de pixels uniques. Les contours sont des courbes ou des lignes continues et uniformes, de sorte qu'un tableau donné comprend de nombreux contours individuels.

« Nous avons traité des formes qui apparaissent dans la nature ou qui n’ont été comprises et étudiées en profondeur que depuis l’époque des grands mathématiciens de l’ère classique, tels qu’Archimède et Euclide », explique Papaodysseus. « À l’époque, je ne croyais pas que les Minoens, les ancêtres d’Euclide et d’Archimède, auraient compris ou travaillé avec ces formes. »

Intuitivement, l’idée que ces artistes utilisaient des guides ou des pochoirs pour créer ces formes avait du sens. À cette époque, les artistes qui peignaient sur un mur devaient être précis et rapides pour terminer les sections sur du plâtre humide avant qu'il ne sèche. Étant donné les contours lisses et réguliers des peintures finies, il semble plus probable que les artistes aient utilisé une sorte de guide pour peindre sur cette surface rugueuse.

Avec l'image du dos courbé de la fille dans « The Crocus Gathering », Papaodysseus et son équipe ont tracé des courbes avec des paramètres variables et appliqué des schémas algorithmiques qui pouvaient identifier et comparer les contours dessinés avec les formes potentielles du pochoir en utilisant MATLAB et ses algorithmes de minimisation de fonctions.

« Dans MATLAB, il est facile de tracer une hyperbole. En utilisant deux fonctions d'Image Processing Toolbox™, vous pouvez superposer l'hyperbole sur une image », explique Athanasios-Rafail Mamatsis, chercheur dans l'équipe de Papaodysseus.

En appliquant ces fonctions à l'image de la fille dans « The Crocus  », ils ont confirmé que son dos courbé s'alignait avec une véritable hyperbole et qu'aucune autre forme ou gabarit possible ne correspondait (voir Figure 1). Comme preuve supplémentaire, lorsqu'il a essayé cette méthode sur une autre fille dans la même fresque, il a trouvé des contours correspondant à la même hyperbole (voir Figure 2).

Au fil des années, les doctorants travaillant sur le projet original sont devenus des collègues et l'équipe a continué à itérer et à améliorer les algorithmes originaux de Papaodysseus pour explorer de nouvelles idées. « En particulier, après la découverte de l’hyperbole, nous n’avons pas hésité à vérifier si les Minoens avaient utilisé des spirales linéaires pour les fresques », explique Papaodysseus.

Leur premier réflexe a été de tester des formes en spirale simples ou communément trouvées dans la nature. Les principaux candidats à l’analyse étaient les spirales exponentielles apparaissant dans les coquillages avec une excellente précision ou la spirale créée en déroulant une ficelle enroulée autour d’une cheville. Il semblait moins probable que les artistes soient tombés sur la spirale linéaire, plus difficile à construire, également connue sous le nom de spirale d'Archimède. Pourtant, lorsqu’ils ont effectué leurs comparaisons, les tourbillons décorant les fresques étaient, en fait, ces étranges spirales (voir Figure 3).

En analysant de plus en plus de peintures murales, le groupe de Papaodysseus a systématiquement trouvé des correspondances pour six pochoirs spécifiques (quatre hyperboles et deux spirales linéaires) dans les contours de l'image. En examinant les fresques, ils ont même repéré de petits trous dans le plâtre où les artistes auraient pu épingler leurs guides. L'idée selon laquelle les artistes de l'âge du bronze utilisaient des pochoirs est également étayée par le fait que les contours des peintures varient généralement de moins de 0,3 millimètre par rapport aux guides générés par ordinateur, mais jamais de plus de 0,8 millimètre. « Cela exclut le hasard », explique Papaodysseus. Il est peu probable que des correspondances aussi étroites soient une coïncidence, en particulier pour des longueurs de pochoirs dépassant 14 cm, 15 cm, 17 cm, 22 cm, etc.

D'autres preuves que les artistes, ou du moins les créateurs de pochoirs, avaient une compréhension géométrique avancée proviennent des différentes manières dont ils ont créé les pochoirs en forme d'hyperbole et de spirale. Considérons une hyperbole : il ne s’agit pas simplement d’une ligne courbe qui épouse la forme d’un dos courbé. Tous les points de la courbe ont une différence de distance constante par rapport à deux points fixes sur le même plan, qui sont maintenant appelés les foyers. Les chercheurs suggèrent que les artistes auraient pu construire de telles courbes en dessinant deux cercles de rayons différents, chacun avec un point central défini de telle sorte que les cercles aient une partie de chevauchement, comme un diagramme de Venn asymétrique. Après avoir dessiné des cercles concentriques autour des deux cercles d’origine et augmenté à chaque fois les rayons des deux cercles de la même valeur, on peut dessiner une hyperbole en reliant les points d'intersection de chaque paire de cercles correspondants (voir Figure 5).

Pour la spirale linéaire, les chercheurs pensent que les artistes auraient pu à nouveau utiliser des cercles concentriques. Les travaux antérieurs de l'équipe avait montré que les habitants de l'âge du bronze d'Akrotiri pouvaient construire des angles centraux de séquences de polygones réguliers. On pouvait dessiner une spirale linéaire en reliant les points où les lignes droites des polygones se croisent avec des cercles concentriques (voir Figure 6).

Tout au long des 20 années et plus, pendant lesquelles Papaodysseus et son équipe ont mené ce travail, ils ont toujours utilisé MATLAB. « Je n'échangerais MATLAB contre rien au monde, même si je connais de nombreux langages de programmation », déclare Papaodysseus. Pour les tâches où il doit écrire en C/C++, il appelle le code de MATLAB et reçoit des résultats instantanés. Il dit que la même tâche prendrait trois fois plus de temps sans cette possibilité d’intégration de MATLAB. La convivialité, l’efficacité et la qualité de l’environnement informatique sont indispensables. « Cela réduit le nombre de lignes de code que vous devez écrire et la clarté des résultats est incroyable. »

Santorin n’est pas la seule à posséder ces fresques impressionnantes. Comme mentionné précédemment, dans la fresque de la Figure 4, qui décorait autrefois un mur du palais de Cnossos – mais qui se trouve aujourd’hui dans des musées – un homme monte un taureau à l’envers tandis que deux femmes de chaque côté se préparent à l’aider. En analysant cette peinture de Crète, l’équipe de Papaodysseus a constaté que le dos du taureau correspondait exactement à une hyperbole que l'équipe avait déjà vue auparavant - dans les fresques de Santorin - tandis que diverses autres parties du contour de cette fresque correspondaient de manière optimale aux parties correspondantes des hyperboles et des parties en spirale repérées à Akrotiri, à Théra.