Réponse en fréquence

Une réponse en fréquence décrit la réponse en régime permanent d'un système lorsqu'il est soumis à des entrées sinusoïdales de fréquences variables. Elle permet aux ingénieurs en contrôle d'analyser et de concevoir des systèmes de contrôle dans le domaine fréquentiel.

Pour bien comprendre l'importance du domaine fréquentiel, prenons l'exemple d'une guitare acoustique. Si on place un microphone près de sa table d'harmonie et qu'on pince l'une des cordes (Fig. 1. à gauche), la corde vibrante résonnera dans la cavité de la guitare et produira une onde sonore enregistrée par le microphone. Lorsque nous examinons la trace temporelle du signal capturé (Fig. 1, à droite), il est difficile d'extraire rapidement des informations sur ce qui se passe.

Lorsque nous examinons ce même signal dans le domaine fréquentiel sur un analyseur de spectre ou en prenant une transformée de Fourier rapide (FFT) du signal dans le domaine temporel, nous voyons un pic d'amplitude à une certaine fréquence (Fig. 2, à gauche). Cette fréquence de crête est la tonalité sous-jacente qui forme la note que nous venons de jouer. Lorsque nous ajustons le bouton du tuner ou que nous pinçons la corde sur le manche de la guitare, nous modifions la précharge ou la longueur effective de cette corde. Cela décale la fréquence à laquelle la corde résonne vers le haut ou vers le bas, et nous produisons une note différente (Fig. 2, à droite). Grâce à cette simple analyse dans le domaine fréquentiel, nous pouvons voir comment la guitare (le système) répond au pincement (l'entrée du système).

Cette analogie peut être transposée à d'autres systèmes où nous souhaitons connaître la réponse du système aux entrées ou stimuli de l'environnement. Nous pouvons obtenir des informations sur la dynamique du système, notamment la fréquence d'un pic de résonance, le gain statique, la bande passante, le retard de phase et les marges de phase et de gain pour un système en boucle fermée.

Obtenir la réponse en fréquence d'un système

Le tableau ci-dessous permet d'identifier une approche (illustrée en gris) pour obtenir la réponse en fréquence d'un système avec MATLAB^® et Simulink^®.

1. Si vous disposez d'une représentation linéaire du système sous la forme d'un modèle de fonction de transfert ou à représentation d'état, vous pouvez tracer la réponse en fréquence avec l'un des trois diagrammes suivants : Bode, Nyquist ou Black-Nichols. Le diagramme de Bode affiche l'amplitude et la phase en fonction de la fréquence du signal d'excitation (Fig. 4).

Par exemple, étant donné la représentation de la fonction de transfert d'un système \((H)\),

$$H(s) = {s^2+ 0.1s + 7.5\over s^4+0.12s^3+9s^2}.$$

vous pouvez tracer sa réponse en fréquence dans MATLAB avec les commandes suivantes :

\(H = {tf([1 \quad 0.1\quad 7.5], [1 \quad 0.12 \quad 9 \quad 0 \quad 0]});\)

\(bode(H)\)

Dans certains cas, il se peut qu'une représentation linéaire du système ne soit pas disponible.

2. Dans ce cas, si vous avez accès aux données de test d'entrée et de sortie à partir du système physique, vous pouvez utiliser des approches de modélisation basées sur les données avec System identification Toolbox™ pour identifier la fonction de transfert, les représentations d'état et les modèles de réponse en fréquence du système.
3. Si vous utilisez Simulink pour modéliser la dynamique du système, vous pouvez utiliser l'application Model Linearizer dans Simulink Control Design™ pour linéariser votre modèle afin de créer une approximation linéaire de la représentation d'état de votre modèle Simulink et de tracer la réponse en fréquence.
4. Si les modèles Simulink ne peuvent pas être linéarisés en raison de discontinuités, vous pouvez utiliser l'estimation de la réponse en fréquence pour estimer directement un modèle de réponse en fréquence. Pour les systèmes présentant des discontinuités dues à une excitation périodique ou à une auto-oscillation, tels que les modèles d'électronique de puissance, vous pouvez calculer les points de fonctionnement périodique en régime permanent à l'aide de Simulink Control Design. L'estimation de la réponse en fréquence peut alors être réalisée autour de ce point de fonctionnement périodique en régime permanent, minimisant ainsi le temps de simulation requis.

Simulink Control Design propose deux approches pour estimer un modèle de réponse en fréquence de votre système.

Estimation hors ligne de la réponse en fréquence
L'application Model Linearizer applique au système un signal de perturbation d'entrée à des fréquences spécifiées et enregistre la réponse à la sortie du modèle lors de la simulation (Fig. 5). Après la simulation, les signaux d'entrée et de sortie enregistrés sont traités pour calculer une réponse en fréquence du modèle.

Estimation en ligne de la réponse en fréquence
La réponse en fréquence d'un modèle physique est estimée en temps réel avec le bloc Frequency Response Estimator. Ce bloc injecte des signaux de test sinusoïdaux dans le modèle physique au point de fonctionnement nominal, et la réponse en fréquence est continuellement affinée lorsque les données du signal de sortie sont collectées.

Le tableau suivant présente les signaux de perturbation que vous pouvez injecter en fonction de vos besoins d'estimation de la plage de fréquences, de la précision et de la vitesse d'estimation.

En résumé, le calcul d'une réponse en fréquence d'un système est important pour l'analyse et le design de contrôle. MATLAB et Simulink offrent différentes approches que vous pouvez utiliser pour obtenir la réponse en fréquence de votre système. Pour en savoir plus sur ces approches, consultez les exemples et les références ci-dessous.