Placement des pôles

Les emplacements des pôles en boucle fermée ont un impact direct sur les caractéristiques de la réponse temporelle telles que le temps de montée, le temps de stabilisation et les oscillations transitoires. Le lieu des racines utilise les gains du correcteur pour déplacer les pôles en boucle fermée afin d'atteindre les spécifications de design des systèmes SISO. Vous pouvez toutefois utiliser des techniques basées sur les espaces d'état pour attribuer des pôles en boucle fermée. Cette technique de design est connue sous le nom de Placement des pôles, qui diffère du lieu des racines de la manière suivante :

• En utilisant les techniques de placement des pôles, vous pouvez concevoir des correcteurs dynamiques.

• Les techniques de placement des pôles sont applicables aux systèmes MIMO.

Le placement des pôles nécessite un modèle de représentation d'état du système (utilisez ss pour convertir d'autres formats de modèle en modèle de représentation d'état). En temps continu, de tels modèles sont de la forme

$$\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du\end{array}$$

où u est le vecteur des entrées du système de contrôle, x est le vecteur d'état, et y est le vecteur des mesures.

Sélection du gain par retour d'état

Sous le retour d'état $$u=-Kx$$, la dynamique en boucle fermée est donnée par

$$\dot{x}=(A-BK)x$$

et les pôles en boucle fermée sont les valeurs propres de A-BK. Avec la fonction place, vous pouvez calculer une matrice de gain K qui attribue ces pôles à n'importe quel emplacement souhaité dans le plan complexe (à condition que (A,B) soit contrôlable).

Par exemple, pour les matrices d'état A et B, et le vecteur p qui contient les emplacements souhaités des pôles en boucle fermée,

K = place(A,B,p);

calcule une matrice de gain appropriée K.

Design de l'estimateur d'état

Vous ne pouvez pas appliquer la loi de retour d'état $$u=-Kx$$ à moins que l'état complet x soit mesuré. Cependant, vous pouvez construire une estimation de l'état $$\xi$$ de sorte que la loi $$u=-K\xi$$ conserve une affectation des pôles et des propriétés en boucle fermée similaires. Vous pouvez y parvenir en concevant un estimateur d'état (ou observateur) de la forme

$$\dot{\xi }=A\xi +Bu+L(y-C\xi -Du)$$

Les pôles de l'estimateur sont les valeurs propres de A-LC, qui peut être attribué arbitrairement par une sélection appropriée de la matrice de gain de l'estimateur L, à condition que (C, A) soit observable. En général, la dynamique de l'estimateur doit être plus rapide que celle du contrôleur (valeurs propres de A-BK).

Utilisez la fonction place pour calculer la matrice L

L = place(A',C',q).'

où A et C sont les matrices d'état et de sortie, et q est le vecteur contenant les pôles en boucle fermée souhaités pour l'observateur.

Remplacer x par son estimation $$\xi$$ dans $$u=-Kx$$ donne le compensateur dynamique par retour de sortie

$$\begin{array}{l}\dot{\xi }=[A-LC-(B-LD)K]\xi +Ly\\ u=-K\xi \end{array}$$

Notez que la dynamique en boucle fermée résultante est

$$\left[\begin{array}{c}\dot{x}\\ \dot{e}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A-BK& BK\\ 0& A-LC\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ e\end{array}\right],e=x-\xi$$

Par conséquent, vous attribuez en fait tous les pôles en la boucle fermée en plaçant indépendamment les valeurs propres de A-BK et A-LC.

Exemple :

Étant donné un modèle de représentation d'état à temps continu

sys_pp = ss(A,B,C,D) 

avec sept sorties et quatre entrées, supposons que vous ayez conçu

• Un gain de contrôleur par retour d'état K en utilisant les entrées 1, 2 et 4 du système physique comme entrées de contrôle

• Un estimateur d'état avec un gain L en utilisant les sorties 4, 7 et 1 du système physique comme capteurs

• L'entrée 3 du système physique comme entrée supplémentaire connue

Vous pouvez ensuite connecter le contrôleur et l'estimateur et former le compensateur dynamique en utilisant ce code :

controls = [1,2,4];
sensors = [4,7,1];
known = [3];
regulator = reg(sys_pp,K,L,sensors,known,controls)

Outils de placement de pôles

Vous pouvez utiliser les fonctions pour

• Calculer les matrices de gain K et L qui permettent d'obtenir les positions de pôle souhaitées en boucle fermée.

• Former l'estimateur d'état et le compensateur dynamique en utilisant ces gains.

Le tableau suivant résume les fonctions pour le placement des pôles.

Fonctions	Description
estim	Former l'estimateur d'état en fonction du gain de l'estimateur
place	Design du placement de pôles
reg	Former le compensateur par retour de sortie étant donné le retour d'état et les gains de l'estimateur

Attention

Le placement des pôles peut être mal conditionné si vous choisissez des emplacements de pôles irréalistes. Vous devez notamment éviter de :

• placer plusieurs pôles au même endroit ;

• déplacer les pôles qui sont faiblement contrôlables ou observables. Cela nécessite généralement un gain élevé, ce qui rend l'ensemble de la structure propre en boucle fermée très sensible aux perturbations.

Voir aussi

estim | place | reg