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Analyse de la réponse d’un circuit RLC

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Cet exemple illustre la manière d’analyser les réponses temporelles et fréquentielles de circuits RLC communs en tant que fonction de leurs paramètres physiques au moyen des fonctions Control System Toolbox™.

Réseau RLC passe-bande

La figure suivante illustre la forme parallèle d’un circuit RLC passe-bande.

rlc_01.png

La fonction de transfert de la tension d'entrée vers la tension de sortie est la suivante :

G(s)=s/(RC)s2+s/(RC)+1/(LC)

Le produit LC contrôle la fréquence passe-bande tandis que RC contrôle l’étroitesse de la bande passante. Pour concevoir un filtre passe-bande réglé sur la fréquence 1 rad/s, réglez L=C=1 et utilisez R pour ajuster la bande filtrante.

Analyse de la réponse fréquentielle du circuit

Le diagramme de Bode constitue un outil pratique pour étudier les caractéristiques passe-bande du réseau RLC. Utilisez tf pour spécifier la fonction de transfert du circuit pour les valeurs R=L=C=1.

R = 1; L = 1; C = 1;
G = tf([1/(R*C) 0],[1 1/(R*C) 1/(L*C)])
G =
 
       s
  -----------
  s^2 + s + 1
 
Continuous-time transfer function.

Tracez la réponse fréquentielle du circuit.

bodeplot(G)
grid on

MATLAB figure

Comme prévu, le filtre RLC présente un gain maximal à la fréquence de 1 rad/s. Toutefois, l'atténuation n'atteint que -10 dB à une demi-décade de cette fréquence. Pour obtenir une bande passante plus étroite, essayez d'augmenter les valeurs de R comme suit.

R1 = 5;
G1 = tf([1/(R1*C) 0],[1 1/(R1*C) 1/(L*C)]);
R2 = 20;
G2 = tf([1/(R2*C) 0],[1 1/(R2*C) 1/(L*C)]);

bodeplot(G,"b",G1,"r",G2,"g")
grid on
legend("R = 1","R = 5","R = 20");

MATLAB figure

La valeur de résistance R=20 permet d’obtenir un filtre étroitement ajusté autour de la fréquence cible de 1 rad/s.

Analyse de la réponse temporelle du circuit

Nous pouvons confirmer les propriétés d'atténuation du circuit G2 (R=20) en simulant la manière dont ce filtre transforme les ondes sinusoïdales de fréquence 0,9, 1 et 1,1 rad/s.

t = 0:0.05:250;
subplot(3,1,1)
lp1 = lsimplot(G2,sin(t),t);
lp1.Title.FontSize = 8;
lp1.XLabel.FontSize = 8;
lp1.YLabel.FontSize = 8;
title("w = 1")
subplot(3,1,2)
lp2 = lsimplot(G2,sin(0.9*t),t);
lp2.Title.FontSize = 8;
lp2.XLabel.FontSize = 8;
lp2.YLabel.FontSize = 8;
title("w = 0.9")
subplot(3,1,3)
lp3 = lsimplot(G2,sin(1.1*t),t);
lp3.Title.FontSize = 8;
lp3.XLabel.FontSize = 8;
lp3.YLabel.FontSize = 8;
title("w = 1.1")

MATLAB figure

Les ondes à 0,9 et 1,1 rad/s sont considérablement atténuées. L'onde à 1 rad/s demeure inchangée une fois que les transitoires ont disparu. Le long transitoire résulte des pôles mal amortis des filtres, malheureusement nécessaires pour une bande passante étroite.

damp(pole(G2))
                                                                        
         Pole              Damping       Frequency       Time Constant  
                                       (rad/TimeUnit)     (TimeUnit)    
                                                                        
 -2.50e-02 + 1.00e+00i     2.50e-02       1.00e+00          4.00e+01    
 -2.50e-02 - 1.00e+00i     2.50e-02       1.00e+00          4.00e+01

Voir aussi

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