Introduction aux modèles de représentation d’état

Définition des modèles de représentation d’état

Les modèles de représentation d'état sont des modèles qui utilisent des variables d'état pour décrire un système par un ensemble d'équations différentielles ou aux différences de premier ordre, plutôt que par une ou plusieurs équations différentielles ou aux différences de ne ordre. Si l'ensemble des équations différentielles de premier ordre est linéaire par rapport aux variables d'état et d'entrée, le modèle est appelé modèle de représentation d'état linéaire.

Remarque

En règle générale, la documentation System Identification Toolbox™ fait référence aux modèles de représentation d'état linéaires simplement comme étant des modèles de représentation d'état. Vous pouvez également identifier des modèles de représentation d'état non linéaires au moyen d'objets de type boîte grise et de représentation d'état neuronal. Pour plus d’informations, consultez Available Nonlinear Models.

La structure de modèle de représentation d’état linéaire est un bon choix pour une estimation rapide. En effet, elle exige que vous spécifiiez seulement un paramètre, à savoir l’ordre du modèle, n. L’ordre du modèle est un entier égal à la dimension de x(t) et faisant référence (sans pour autant être égal) au nombre d’entrées et de sorties retardées utilisées dans l’équation aux différences correspondante. Les variables d’état x(t) peuvent être reconstruites à partir des données d’entrée-sortie mesurées, mais ne sont pas elles-mêmes mesurées pendant une expérience.

Représentation en temps continu

Il est souvent plus facile de définir un modèle de représentation d’état paramétré en temps continu, car les lois physiques sont le plus souvent décrites en termes d’équations différentielles. En temps continu, la description de la représentation d’état linéaire présente la forme suivante :

$$\begin{array}{l}\dot{x}(t)=Fx(t)+Gu(t)+\tilde{K}w(t)\\ y(t)=Hx(t)+Du(t)+w(t)\\ x(0)=x0\end{array}$$

Les matrices F, G, H et D contiennent des éléments ayant une signification physique, par exemple des constantes matérielles. x0 spécifie les états initiaux.

Remarque

$$\tilde{K}$$ = 0 donne la représentation d’état d’un modèle Output-Error. Pour plus d’informations, consultez What Are Polynomial Models?.

Vous pouvez estimer un modèle de représentation d’état en temps continu à la fois au moyen de données du domaine temporel et fréquentiel.

Représentation en temps discret

La structure des modèles de représentation d’état linéaires en temps discret est souvent écrite sous la forme des innovations qui décrit le bruit :

$$\begin{array}{l}x(kT+T)=Ax(kT)+Bu(kT)+Ke(kT)\\ y(kT)=Cx(kT)+Du(kT)+e(kT)\\ x(0)=x0\end{array}$$

où T correspond au pas d’échantillonnage, u(kT) à l’entrée à l’instant kT et y(kT) à la sortie à l’instant kT.

Remarque

K=0 donne la représentation d’état d’un modèle Output-Error. Pour plus d'informations sur les modèles Output-Error, consultez What Are Polynomial Models?.

Les modèles de représentation d’état en temps discret offrent le même type de relation de différence linéaire entre les entrées et les sorties que le modèle ARMAX linéaire, mais ils sont réorganisés de sorte que les expressions contiennent un seul retard.

Vous ne pouvez pas estimer un modèle de représentation d’état en temps discret au moyen de données du domaine fréquentiel en temps continu.

La forme des innovations utilise une source de bruit unique e(kT) plutôt que des bruits de traitement et de mesure indépendants. Si vous connaissez préalablement les bruits de traitement et de mesure, vous pouvez utiliser une estimation linéaire de type boîte grise pour identifier un modèle de représentation d’état avec des sources de bruit indépendantes structurées. Pour plus d’informations, consultez Identifying State-Space Models with Separate Process and Measurement Noise Descriptions.

Relation entre les matrices d’état en temps continu et en temps discret

Les relations entre les matrices de représentation d’état en temps discret A, B, C, D et K et en temps continu F, G, H, D et $$\tilde{K}$$ sont données pour une entrée constante par morceaux, comme suit :

$$\begin{array}{l}A=e^{FT}\\ B={\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}{e}^{F\tau }Gd\tau }\\ C=H\end{array}$$

Ces relations supposent que l’entrée est constante par morceaux sur les intervalles de temps $$kT\le t<(k+1)T$$.

La relation exacte entre K et $$\tilde{K}$$ est complexe. Cependant, pour un pas d’échantillonnage court T, l’approximation suivante fonctionne bien :

$$K={\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}{e}^{F\tau }\tilde{K}d\tau }$$

Représentation d’état des fonctions de transfert

Pour les modèles linéaires, la description générale du modèle est donnée par :

$$y=Gu+He$$

G est une fonction de transfert qui transforme l’entrée u en sortie y. H est une fonction de transfert qui décrit les propriétés du modèle de bruit additif en sortie.

Les relations entre les fonctions de transfert et les matrices de représentation d’état en temps discret sont données par les équations suivantes :

$$\begin{array}{l}G(q)=C{(}^{q}B+D\\ H(q)=C{(}^{q}K+I_{ny}\end{array}$$

Ici, I_nx est la matrice identité de nx par nx et nx est le nombre d’états. I_ny est la matrice identité de ny par ny et ny est la dimension de y et e.

La représentation d’état dans le cas du temps continu est similaire.

Voir aussi

Rubriques

• Estimate State-Space Models in System Identification App
• Estimate State-Space Models at the Command Line
• Data Supported by State-Space Models
• Supported State-Space Parameterizations