Transformée en ondelettes continue comme filtre passe-bande

La CWT comme technique de filtrage

La transformée en ondelettes continue (CWT) calcule le produit scalaire d'un signal, $$f(t)$$, avec des versions translatées et dilatées d'une ondelette d'analyse, $$\psi (t).$$ La définition de la CWT est la suivante :

$$C(a,b;f(t),\psi (t))={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }f}(t)\frac{1}{a}{\psi }^{*}\left(\frac{t-b}{a}\right)dt$$

Vous pouvez également interpréter la CWT comme un filtrage du signal basé sur la fréquence en réécrivant la CWT comme une transformée de Fourier inverse.

$$C(a,b;f(t),\psi (t))=\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }\widehat{f}}(\omega )\overline{\widehat{\psi }}(a\omega )e^{i\omega b}d\omega$$

où $$\widehat{f}(\omega )$$ et $$\widehat{\psi }(\omega )$$ sont les transformées de Fourier du signal et de l'ondelette.

D'après les équations précédentes, vous pouvez voir que l'étirement d'une ondelette dans le temps entraîne le rétrécissement de son support dans le domaine fréquentiel. En plus de rétrécir le support de fréquence, la fréquence centrale de l'ondelette se déplace vers les basses fréquences. La figure suivante illustre cet effet pour une ondelette hypothétique et des facteurs d'échelle (dilatation) de 1, 2 et 4.

Celle-ci représente la CWT comme un filtrage passe-bande du signal d'entrée. Les coefficients CWT aux échelles inférieures représentent l'énergie du signal d'entrée aux fréquences supérieures, tandis que les coefficients CWT aux échelles supérieures représentent l'énergie du signal d'entrée aux fréquences inférieures. Cependant, contrairement au filtrage passe-bande de Fourier, la largeur du filtre passe-bande dans la CWT est inversement proportionnelle à l'échelle. La largeur des filtres de la CWT diminue avec l'augmentation de l'échelle. Cela découle des relations d'incertitude entre le support temporel et fréquentiel d'un signal : plus le support temporel d'un signal est large, plus son support fréquentiel est étroit. La relation inverse est également valable.

Dans la transformée en ondelettes, l'opération d'échelle, ou de dilatation, est définie pour préserver l'énergie. Pour préserver l'énergie tout en réduisant le support de fréquence, il faut que le niveau d'énergie de pointe augmente. L'implémentation de cwt dans Wavelet Toolbox™ utilise la normalisation L1. Le facteur de qualité, ou facteur Q d'un filtre est le rapport entre son énergie de crête et sa bande passante. Étant donné que le rétrécissement ou l'étirement du support de fréquence d'une ondelette entraîne des augmentations ou des diminutions proportionnelles de son énergie de crête, les ondelettes sont souvent appelées filtres à Q constant.

Transformée en ondelettes continue DFT

L'équation de la section précédente définissait la CWT comme la transformée de Fourier inverse d'un produit de transformées de Fourier.

$$C(a,b;f(t),\psi (t))=\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }\stackrel{\wedge }{f}}(\omega ){\widehat{\psi }}^{*}(a\omega )e^{j\omega b}d\omega$$

La variable temps dans la transformée de Fourier inverse est le paramètre de translation, b.

Cela suggère que vous pouvez calculer la CWT avec la transformée de Fourier inverse. Comme il existe des algorithmes efficaces pour le calcul de la transformée de Fourier discrète et de son inverse, vous pouvez souvent gagner en temps et en calcul en utilisant fft et ifft lorsque cela est possible.

Pour obtenir une image de la CWT dans le domaine de Fourier, commencez par la définition de la transformée en ondelettes :

$$<f(t),{\psi }_{a,b}(t)>=\frac{1}{a}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }f}(t){\psi }^{*}(\frac{t-b}{a})dt$$

Si vous procédez à la définition :

$${\tilde{\psi }}_a(t)=\frac{1}{a}{\psi }^{*}(-t/a)$$

vous pouvez réécrire la transformée en ondelettes en

$$(f\ast {\tilde{\psi }}_a)(b)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }f}(t){\tilde{\psi }}_a(b-t)dt$$

qui qualifie explicitement la CWT comme une convolution.

Pour implémenter la version discrétisée de la CWT, supposons que la séquence d'entrée est un vecteur de longueur N, x[n]. La version discrète de la convolution précédente est :

$$W_a[b]={\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}x}[n]{\tilde{\psi }}_a[b-n]$$

Pour obtenir la CWT, il semble que vous deviez calculer la convolution pour chaque valeur du paramètre de décalage, b, et répéter ce processus pour chaque échelle, a.

Cependant, si les deux séquences sont étendues de manière circulaire (périodisées à la longueur N), vous pouvez exprimer la convolution circulaire comme un produit de transformées de Fourier discrètes. La CWT est la transformée de Fourier inverse du produit

$$W_a(b)=\frac{1}{N}\sqrt{\frac{2\pi }{\Delta t}}{\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}\stackrel{\wedge }{X}}(2\pi k/N\Delta t)\stackrel{\wedge }{\psi }*(a2\pi k/N\Delta t)e^{j2\pi kb/N}$$

où Δt est l'intervalle d'échantillonnage (période).

L'expression de la CWT sous la forme d'une transformée de Fourier inverse vous permet d'utiliser les algorithmes fft et ifft, efficaces en termes de calcul, pour réduire le coût du calcul des convolutions.

La fonction cwt implémente la CWT.