La traduction de cette page n'est pas à jour. Cliquez ici pour voir la dernière version en anglais.

Transformée en ondelettes continue inverse

La fonction icwt implémente la CWT inverse. L'utilisation de icwt exige que vous obteniez la CWT de cwt.

La CWT étant une transformée redondante, il n'existe pas une méthode unique pour définir l'inverse. La CWT inverse implémentée dans Wavelet Toolbox™ utilise l'ondelette de Morse analytique et la normalisation L1.

La CWT inverse est classiquement présentée sous la forme d'une double-intégrale. Supposons que vous ayez une ondelette ψ avec une transformée de Fourier qui satisfait à la condition d'admissibilité :

$$C_{\psi }={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{|\stackrel{\wedge }{\psi }(\omega ){|}^2}{\left|\omega \right|}}d\omega <\infty$$

Pour les ondelettes satisfaisant la condition d'admissibilité et les fonctions à énergie finie, f(t), vous pouvez définir la CWT inverse comme :

$$f(t)=\frac{1}{C_{\psi }}{\displaystyle {\int }_a{\displaystyle {\int }_b<}}f(t),{\psi }_{a,b}(t)>{\psi }_{a,b}(t)db\frac{da}{a}$$

où $${\psi }_{a,b}(t)=\frac{1}{a}\psi \left(\frac{t-b}{a}\right)$$.

Pour les ondelettes analysantes et les fonctions satisfaisant les conditions suivantes, il existe une formule d'intégrale unique pour la CWT inverse. Ces conditions sont :

• La fonction analysée, f(t), est à valeur réelle et l'ondelette analysante a une transformée de Fourier à valeur réelle.

• La fonction analysée, f(t), est à valeur réelle et la transformée de Fourier de l'ondelette analysante n'a de support que sur l'ensemble des fréquences non négatives. C'est ce qu'on appelle une ondelette analytique. Une fonction dont la transformée de Fourier n'a de support que sur l'ensemble de fréquences non négatives doit être à valeur complexe.

Les conditions précédentes limitent l'ensemble des ondelettes analysantes possibles. Les ondelettes supportées par cwt sont analytiques. Comme la toolbox ne prend en charge que l'analyse des fonctions à valeurs réelles, la condition à valeurs réelles de la fonction analysée est toujours satisfaite.

Pour motiver la formule d'intégrale unique, soit ψ₁ et ψ₂ deux ondelettes qui satisfont la condition d'admissibilité de deux ondelettes suivante :

$${\displaystyle \int \frac{|\stackrel{\wedge }{{\psi }_1^{*}}(\omega )||\stackrel{\wedge }{{\psi }_2}(\omega )|}{\left|\omega \right|}}d\omega <\infty$$

Définissez la constante :

$$C_{{\psi }_1,{\psi }_2}={\displaystyle \int \frac{\stackrel{\wedge }{{\psi }_1^{*}}(\omega )\stackrel{\wedge }{{\psi }_2}(\omega )}{\left|\omega \right|}}d\omega$$

La constante ci-dessus peut être à valeur complexe. Soit f(t) et g(t) deux fonctions d'énergie finie. Si la condition d'admissibilité des deux ondelettes est satisfaite, l'égalité suivante est respectée :

$$C_{{\psi }_1,{\psi }_2}<f,g>={\displaystyle \int {\displaystyle \int <}}f,{\psi }_1><g,{\psi }_2{>}^{*}db\frac{da}{a}$$

où < , > désigne le produit scalaire, * désigne le conjugué complexe, et la dépendance de ψ₁ et ψ₂ par rapport à l'échelle et à la position a été supprimée par commodité.

La clé de la formule en intégrale unique pour la CWT inverse est de reconnaître que la condition d'admissibilité de deux ondelettes peut être satisfaite même si l'une des ondelettes n'est pas admissible. En d'autres termes, il n'est pas nécessaire que ψ₁ et ψ₂ soient toutes deux admissibles séparément. Vous pouvez également assouplir davantage les exigences en autorisant l'une des fonctions et des ondelettes à être des distributions. En laissant d'abord g(t) être la fonction delta de Dirac (une distribution) et en permettant également à ψ₂ d'être la fonction delta de Dirac, vous pouvez dériver la formule en intégrale unique pour la CWT inverse

$$f(t)=2Re\{\frac{1}{C_{{\psi }_1,\delta }}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }<}f(t),{\psi }_1(t)>\frac{da}{a}\}$$

où Re{ } désigne la partie réelle.

L'équation précédente démontre que vous pouvez reconstruire le signal en additionnant les coefficients CWT sur toutes les échelles.

En additionnant les coefficients CWT de certaines échelles, vous obtenez une approximation du signal d'origine. Ceci est utile dans les situations où votre phénomène d'intérêt est localisé à l'échelle.

icwt implémente une version discrétisée de l'intégrale ci-dessus.