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Introduction aux ondelettes

Une ondelette est une forme d'onde de durée effective limitée qui a une valeur moyenne nulle et une norme non nulle.

De nombreux signaux et images d'intérêt présentent un comportement lisse par morceaux, ponctué de transitoires. Les signaux vocaux sont caractérisés par de courtes rafales, codant les consonnes, suivies d'oscillations stables indiquant les voyelles. Les images naturelles présentent des bords. Les séries chronologiques financières présentent un comportement transitoire, qui caractérise les améliorations et les dégradations rapides des conditions économiques. Contrairement à la base de Fourier, les bases d'ondelettes sont aptes à représenter de manière parcimonieuse des images et des signaux qui sont réguliers par morceaux et incluent un comportement transitoire.

On peut comparer les ondelettes à des ondes sinusoïdales, qui sont la base de l'analyse de Fourier. Les sinusoïdes n'ont pas de durée limitée, elles s'étendent de moins à plus l'infini. Alors que les sinusoïdes sont lisses et prévisibles, les ondelettes ont tendance à être irrégulières et asymétriques.

L'analyse de Fourier consiste à décomposer un signal en ondes sinusoïdales de différentes fréquences. De même, l'analyse par ondelettes consiste à décomposer un signal en versions décalées et mises à l'échelle de l'ondelette originale (ou mère).

Il suffit de regarder des images d'ondelettes et d'ondes sinusoïdales pour comprendre intuitivement que les signaux présentant des changements brusques seront mieux analysés avec une ondelette irrégulière qu'avec une sinusoïde lisse.

Il est également logique que les caractéristiques locales puissent être mieux décrites avec des ondelettes qui ont une étendue locale. L'exemple suivant illustre cela pour un signal simple constitué d'une onde sinusoïdale avec une discontinuité.

Localiser une discontinuité dans une onde sinusoïdale

Cet exemple montre comment l'analyse par ondelettes peut localiser une discontinuité dans une onde sinusoïdale.

Créez une onde sinusoïdale de 1 Hz échantillonnée à 100 Hz. La durée de l'onde sinusoïdale est d'une seconde. L'onde sinusoïdale présente une discontinuité à $$t=0.5$$ secondes.

Fs = 100;
t = 0:1/Fs:1-1/Fs;
x = sin(2*pi*t);
x1 = x-0.15;
y = zeros(size(x));
y(1:length(y)/2) = x(1:length(y)/2);
y(length(y)/2+1:end) = x1(length(y)/2+1:end);
stem(t,y,MarkerFaceColor=[0 0 1])
xlabel("Seconds")
ylabel("Amplitude")

Obtenez la transformée en ondelettes discrète non décimée de l'onde sinusoïdale en utilisant l'ondelette sym2 et tracez les coefficients de l'ondelette (détail) avec le signal original.

[swa,swd] = swt(y,1,"sym2");
tiledlayout(2,1)
nexttile
stem(t,y,MarkerFaceColor=[0 0 1])
title("Original Signal")
nexttile
stem(t,swd,MarkerFaceColor=[0 0 1])
title("Level 1 Wavelet Coefficients")

Comparez les amplitudes des coefficients de Fourier pour l'onde sinusoïdale de 1 Hz avec et sans la discontinuité.

figure
dftsig = fft([x' y']);
dftsig = dftsig(1:length(y)/2+1,:);
df = 100/length(y);
freq = 0:df:50;
stem(freq,abs(dftsig))
title("Fourier Coefficient Magnitudes")
xlabel("Hz")
ylabel("Magnitude")
legend("Sine Wave","Sine Wave With Discontinuity")

Il y a une différence minime dans les amplitudes des coefficients de Fourier. Les vecteurs de base de Fourier discrets ayant un support sur tout l'intervalle de temps, la transformée de Fourier discrète ne détecte pas la discontinuité aussi efficacement que la transformée en ondelettes.

Comparez les coefficients d'ondelettes de niveau 1 pour l'onde sinusoïdale avec et sans la discontinuité.

[swax,swdx] = swt(x,1,"sym2");
stem(t,[swdx' swd'])
title("Wavelet Coefficients")
legend("Sine Wave","Sine Wave With Discontinuity")

Les coefficients d'ondelettes des deux signaux montrent une différence significative. L'analyse par ondelettes est souvent capable de révéler des caractéristiques d'un signal ou d'une image que d'autres techniques d'analyse ratent, comme les tendances, les points de rupture, les discontinuités dans les dérivées supérieures et l'autosimilarité. En outre, les ondelettes offrant une vision des données différente de celle présentée par les techniques de Fourier, l'analyse par ondelettes permet souvent de compresser ou de débruiter un signal de manière significative sans dégradation notable.

Voir aussi

Applications

• Wavelet Signal Analyzer | Wavelet Image Analyzer | Wavelet Signal Denoiser | Wavelet Time-Frequency Analyzer | Signal Multiresolution Analyzer

Exemples associés

• Denoise a Signal with the Wavelet Signal Denoiser
• Practical Introduction to Multiresolution Analysis
• Practical Introduction to Time-Frequency Analysis Using the Continuous Wavelet Transform
• Using Wavelet Time-Frequency Analyzer App

En savoir plus

• Transformées en ondelettes continues et discrètes
• Choisir une ondelette

Sites web externes

• Comprendre les ondelettes