Main Content

Choisir une ondelette

Il existe deux types d’analyse par ondelettes : continue et multirésolution. Le type d'analyse par ondelettes le plus adapté à votre travail dépend de ce que vous souhaitez faire avec les données. Ce thème se concentre sur les données 1-D, mais vous pouvez appliquer les mêmes principes aux données 2-D. Pour découvrir comment effectuer le traitement et interpréter chaque type d’analyse, veuillez consulter Practical Introduction to Time-Frequency Analysis Using the Continuous Wavelet Transform et Practical Introduction to Multiresolution Analysis.

Analyse temps-fréquence

Si vous souhaitez effectuer une analyse temps-fréquence détaillée, choisissez la transformée en ondelettes continue (CWT). En termes d'implémentation, les échelles sont discrétisées plus finement dans la CWT que dans la transformée en ondelettes discrète (DWT). Vous trouverez de plus amples informations sur Transformées en ondelettes continues et discrètes.

Fréquence instantanée

La CWT est supérieure à la transformée de Fourier à court terme (STFT, Short-Time Fourier Transform) pour les signaux dont la fréquence instantanée croît rapidement. Dans la figure suivante, les fréquences instantanées de chirps hyperboliques sont représentées par des lignes en pointillé dans le spectrogramme et le scalogramme dérivé de la CWT. Vous trouverez de plus amples informations sur Time-Frequency Analysis and Continuous Wavelet Transform.

Localiser des transitoires

La CWT est efficace pour localiser les transitoires dans des signaux non stationnaires. Dans la figure suivante, observez comment les coefficients d'ondelettes s'alignent sur les variations abruptes du signal. Vous trouverez de plus amples informations sur Practical Introduction to Time-Frequency Analysis Using the Continuous Wavelet Transform.

Ondelettes supportées

Pour obtenir la transformée en ondelettes continue de vos données, utilisez cwt et cwtfilterbank. Les deux fonctions prennent en charge les ondelettes analytiques énumérées dans le tableau suivant. Par défaut, cwt et cwtfilterbank utilisent la famille d'ondelettes de Morse généralisée. Cette famille est définie par deux paramètres. Vous pouvez faire varier ces paramètres pour recréer de nombreuses ondelettes couramment utilisées. Dans les tracés pour le domaine temporel, les lignes rouges et bleues sont respectivement les parties réelle et imaginaire de l'ondelette. Les courbes de niveau montrent l'étalement des ondelettes en temps et en fréquence. Vous trouverez de plus amples informations sur Morse Wavelets et Generalized Morse and Analytic Morlet Wavelets.

OndeletteCaractéristiquesNomDomaine temporelDomaine temps-fréquence
Ondelette de Morse généraliséePossibilité de faire varier deux paramètres pour modifier l'étalement en temps et en fréquence"morse" (par défaut)

Ondelette analytique de Morlet (Gabor)Variance égale en temps et fréquence"amor"

Ondelette BumpPlus grande variance en temps, plus faible variance en fréquence"bump"

Toutes les ondelettes du tableau sont analytiques. Les ondelettes analytiques sont des ondelettes à spectre unilatéral et à valeur complexe dans le domaine temporel. Ces ondelettes sont une bonne option pour obtenir une analyse temps-fréquence à l'aide de la CWT. Les coefficients des ondelettes étant à valeur complexe, la CWT donne des informations sur la phase. cwt et cwtfilterbank supportent les ondelettes analytiques et anti-analytiques. Vous trouverez de plus amples informations sur CWT-Based Time-Frequency Analysis.

Analyse multirésolution

Dans une analyse multirésolution (MRA), vous faites l'approximation d'un signal à des échelles progressivement plus grossières tout en enregistrant les différences entre les approximations pour des échelles consécutives. Vous créez les approximations et les différences en prenant la transformée en ondelettes discrète (DWT) du signal. La DWT offre une représentation parcimonieuse pour de nombreux signaux naturels. Les approximations sont formées en comparant le signal avec des copies mises à l'échelle et translatées d'une fonction d'échelle. Les différences entre les échelles consécutives, également appelées détails, sont mises en évidence en utilisant des copies mises à l'échelle et translatées d'une ondelette. Sur une échelle log2, la différence entre les échelles consécutives est toujours de 1. Dans le cas de la CWT, les différences entre les échelles consécutives sont plus fines.

Lors de la génération de la MRA, vous pouvez soit sous-échantillonner (décimer) l'approximation par un facteur 2 chaque fois que vous augmentez l'échelle, soit ne pas le faire. Chaque option offre des avantages et des inconvénients. Si vous sous-échantillonnez, vous vous retrouvez avec le même nombre de coefficients d'ondelettes que le signal d'origine. Dans la DWT décimée, les translations sont des multiples entiers de l'échelle. Pour la DWT non décimée, les translations sont des décalages entiers. Une DWT non décimée offre une représentation redondante des données originales, mais pas aussi redondante que la CWT. Votre application n'influence pas seulement le choix de l'ondelette, mais aussi la version de la DWT à utiliser.

Préservation de l'énergie

Si la préservation de l'énergie dans la phase d'analyse est importante, vous devez utiliser une ondelette orthogonale. Une transformée orthogonale préserve l'énergie. Considérez l'utilisation d'une ondelette orthogonale avec un support compact. N'oubliez pas qu'à l'exception de l'ondelette de Haar, les ondelettes orthogonales à support compact ne sont pas symétriques. Les filtres associés ont une phase non linéaire. Ce tableau énumère les ondelettes orthogonales supportées. Voir wavemngr("read") pour tous les noms de familles d'ondelettes. Pour en savoir plus sur une famille spécifique, y compris les ondelettes disponibles dans cette famille, utilisez waveinfo et le nom abrégé de la famille. Par exemple, waveinfo("db").

Famille d’ondelette orthogonale
(Nom abrégé de la famille)
CaractéristiquesNom de l’ondeletteVoir égalementOndelette représentative
Mieux localisées de Daubechies ("bl")

Ondelettes à support compact similaires aux symlets ; l'asymétrie des symlets est diminuée dans le temps en minimisant un second moment supplémentaire dans le temps ; le filtre d'échelle a N moments de fuite

"blN", où N = 7, 9, et 10blscalf

Beylkin ("beyl")A 18 coefficients et a 3 moments de fuite."beyl" 

Coiflets ("coif")La fonction d'échelle et les ondelettes ont le même nombre de moments de fuite N"coifN", où N = 1, 2, ..., 5coifwavf

Daubechies ("db")Phase non linéaire ; énergie concentrée près du début de leur support ; nombre le plus élevé de moments de fuite N pour une largeur de support donnée"dbN", où N = 1, 2, ..., 45dbaux, dbwavf, Coefficients d'ondelettes de phase extrême

Fejér-Korovkin ("fk")Filtres construits pour minimiser la différence entre un filtre d'échelle valide et le filtre passe-bas idéal ; les filtres ont N coefficients et sont particulièrement utiles dans les transformées en paquets d'ondelettes discrètes (décimées et non décimées)."fkN", où N = 4, 6, 8, 14, 18, 22fejerkorovkin

Haar ("haar")Symétrique ; cas particulier de Daubechies ; utile pour la détection des contours"haar", ou équivalent, "db1" 

Moments de phase linéaire Han ("han")Caractérisé par un ordre spécifié de règles de somme SR et un ordre de moments de phase linéaire LP"hanSR.LP" ; pour déterminer les valeurs supportées, utilisez waveinfo et le nom abrégé de la famillehanscalf

Bande passante minimale de Morris ("mb")Ondelettes orthogonales à bande passante minimale de Morris, spécifiées par le nombre de coefficients de filtre (taps) N et le niveau de la transformée en ondelettes discrète L utilisés dans l'optimisation ; ne passent pas les contrôles d'orthogonalité par défaut dans isorthwfb"mbN.L" ; pour déterminer les valeurs supportées, utilisez waveinfo et le nom abrégé de la famillembscalf

Symlets ("sym")Asymétrie minimale ; phase presque linéaire ; N moments de fuite"symN", où N = 2, 3, ..., 45symaux, symwavf, Least Asymmetric Wavelet and Phase

Vaidyanathan ("vaid")A 24 coefficients ; ne passe pas les contrôles d'orthogonalité par défaut dans isorthwfb"vaid" 

Selon la façon dont vous traitez les distorsions en bordure, la DWT peut ne pas conserver d'énergie durant la phase d'analyse. Pour plus d’informations, veuillez consulter Border Effects. La transformée en ondelettes discrète à recouvrement maximal modwt et la transformée en paquets d'ondelettes discrète à recouvrement maximal modwpt conservent l'énergie. La décomposition en paquets d'ondelettes dwpt ne conserve pas l'énergie.

Détection des caractéristiques

Si vous souhaitez trouver des caractéristiques étroitement espacées, choisissez des ondelettes avec un support plus petit, comme haar, db2, ou sym2. Le support de l'ondelette doit être suffisamment petit pour séparer les caractéristiques d'intérêt. Les ondelettes avec un support plus grand ont tendance à avoir des difficultés à détecter ces caractéristiques. L'utilisation d'ondelettes à grand support peut donner des coefficients qui ne permettent pas de distinguer des caractéristiques individuelles. Dans la figure suivante, le graphique du dessus montre un signal avec des pointes. Le graphique du dessous montre les détails de la MRA de premier niveau d'une DWT à recouvrement maximal utilisant les ondelettes haar (lignes bleues épaisses) et db6 (lignes rouges épaisses).

Si vos données présentent des transitoires peu espacés, vous pouvez utiliser des ondelettes avec un support plus grand.

Analyse de la variance

Si votre objectif est de réaliser une analyse de la variance, la transformée en ondelettes discrète à recouvrement maximal (MODWT) est adaptée à cette tâche. La MODWT est une variante de la DWT standard.

  • La MODWT conserve l'énergie durant la phase d'analyse.

  • La MODWT répartit la variance entre les échelles. Vous trouverez des exemples dans Wavelet Analysis of Financial Data et Wavelet Changepoint Detection.

  • La MODWT nécessite une ondelette orthogonale, telle qu'une ondelette de Daubechies ou Symlet.

  • La MODWT est une transformée invariante en translation. Le décalage des données d'entrée décale les coefficients d'ondelettes d'une quantité identique. La DWT décimée n'est pas invariante en translation. Le décalage de l'entrée modifie les coefficients et peut redistribuer l'énergie à travers les échelles.

Pour plus d’informations, voir modwt, modwtmra, et modwtvar. Voir aussi Comparing MODWT and MODWTMRA.

Redondance

Prendre la DWT décimée, wavedec, d'un signal en utilisant une famille orthonormale d'ondelettes offre une représentation redondante du signal à un dégré minimal. Il n’y a pas de chevauchement des ondelettes au sein d'une même échelle et entre les échelles. Le nombre de coefficients est égal au nombre d'échantillons de signal. Les représentations redondantes à un degré minimal constituent un bon choix pour la compression, lorsque l'on souhaite supprimer les caractéristiques qui ne sont pas perçues.

La CWT d'un signal offre une représentation hautement redondante d'un signal. Il existe un chevauchement important entre les ondelettes au sein d'une même échelle et entre les échelles. En outre, étant donné la discrétisation fine des échelles, le coût du calcul de la CWT et du stockage des coefficients d'ondelettes est nettement supérieur à celui de la DWT. La MODWT modwt est également une transformée redondante, mais le facteur de redondance est généralement nettement inférieur à celui de la CWT. La redondance tend à renforcer les caractéristiques du signal que vous souhaitez examiner, comme les ruptures de fréquence ou autres événements transitoires.

Si votre travail requiert de représenter un signal avec une redondance minimale, utilisez wavedec. Si votre travail requiert une représentation redondante, utilisez modwt ou modwpt.

Débruitage

Une ondelette orthogonale, telle qu'une ondelette Symlet ou de Daubechies, est un bon choix pour le débruitage des signaux. Une ondelette biorthogonale peut également être utile pour le traitement d'images. Les filtres en ondelettes biorthogonales ont une phase linéaire, qui est très importante pour le traitement d'images. L'utilisation d'une ondelette biorthogonale n'introduit pas de distorsions visuelles dans l'image.

  • Une transformée orthogonale ne colore pas le bruit blanc. Si un bruit blanc est fourni en entrée d'une transformée orthogonale, la sortie est un bruit blanc. La réalisation d'une DWT avec une ondelette biorthogonale colore le bruit blanc.

  • Une transformée orthogonale préserve l'énergie.

L'ondelette sym4 est l'ondelette par défaut utilisée dans les applications wdenoise et Wavelet Signal Denoiser. L'ondelette biorthogonale bior4.4 est l'ondelette par défaut dans wdenoise2.

Compression

Si votre travail implique la compression de signaux ou d'images, vous devriez utiliser une ondelette biorthogonale. Ce tableau énumère les ondelettes biorthogonales supportées avec un support compact.

Famille d’ondelettes orthogonales
(Nom de famille court)
CaractéristiquesNom de l’ondeletteOndelette représentative
Spline biorthogonale ("bior")Support compact ; filtres symétriques ; phase linéaire ; spécifié par Nr et Nd, le nombre de moments de fuite pour respectivement les filtres de reconstruction et de décomposition"biorNr.Nd" ; voir waveinfo("bior") pour les valeurs supportées

Spline biorthogonale inverse ("rbio")Support compact ; filtres symétriques ; phase linéaire ; spécifié par Nr et Nd, le nombre de moments de fuite pour respectivement les filtres de reconstruction et de décomposition"rbioNd.Nr" ; voir waveinfo("rbio") pour les valeurs supportées

Le fait de disposer de deux paires de fonction d'échelle-ondelette, une paire pour l'analyse et une autre pour la synthèse, est utile pour la compression.

  • Les filtres en ondelettes biorthogonales sont symétriques et ont une phase linéaire. (Veuillez consulter Least Asymmetric Wavelet and Phase.)

  • Les ondelettes utilisées pour l'analyse peuvent avoir de nombreux moments de fuite. Une ondelette avec N moments de fuite est orthogonale aux polynômes de degré N-1. L'utilisation d'une ondelette avec de nombreux moments de fuite donne moins de coefficients d'ondelette significatifs. La compression est améliorée.

  • Les ondelettes doubles utilisées pour la synthèse peuvent avoir une meilleure régularité. Le signal reconstruit est plus lisse.

L'utilisation d'un filtre d'analyse avec moins de moments de fuite qu'un filtre de synthèse peut affecter la compression. Voir Reconstruction d'images avec des ondelettes biorthogonales, par exemple.

Lorsqu'on utilise des ondelettes biorthogonales, l'énergie n'est pas conservée au stade de l'analyse. Vous trouverez de plus amples informations sur Orthogonal and Biorthogonal Filter Banks.

Considérations d’ordre général

Les ondelettes ont des propriétés qui régissent leur comportement. En fonction de ce que vous voulez faire, certaines propriétés peuvent être plus importantes.

Orthogonalité

Si une ondelette est orthogonale, la transformée en ondelettes préserve l'énergie. À l'exception de l'ondelette de Haar, aucune ondelette orthogonale à support compact n'est symétrique. Le filtre associé a une phase non linéaire.

Moments de fuite

Une ondelette avec N moments de fuite est orthogonale aux polynômes de degré N-1. Voir Ondelettes et moments de fuite, par exemple. Le nombre de moments de fuite et l'oscillation de l'ondelette ont une relation flexible. Plus le nombre de moments de fuite augmente, plus l'ondelette oscille.

Le nombre de moments de fuite affecte également le support d'une ondelette. Daubechies a prouvé qu'une ondelette avec N moments de fuite doit avoir un support d'une longueur minimum de 2 N-1.

Les noms de nombreuses ondelettes sont dérivés du nombre de moments de fuite. Par exemple, db6 est l'ondelette de Daubechies avec six moments de fuite, et sym3 est la Symlet avec trois moments de fuite. Pour les ondelettes de coiflet, coif3 est la coiflet avec six moments de fuite. Pour les ondelettes de Fejér-Korovkin, fk8 est l'ondelette de Fejér-Korovkin avec un filtre de longueur 8. Les noms des ondelettes biorthogonales sont dérivés du nombre de moments de fuite de l'ondelette d'analyse et de l'ondelette de synthèse. Par exemple, bior3.5 est l'ondelette biorthogonale avec trois moments de fuite dans l'ondelette de synthèse et cinq moments de fuite dans l'ondelette d'analyse. Pour en savoir plus, consultez waveinfo et wavemngr.

Si le nombre de moments de fuite N est égal à 1, 2 ou 3, alors dbN et symN sont identiques.

Régularité

La régularité est liée au nombre de dérivées continues d'une fonction. Intuitivement, la régularité peut être considérée comme une mesure du lissage. Pour détecter un changement brusque des données, une ondelette doit être suffisamment régulière. Pour qu'une ondelette ait N dérivées continues, l'ondelette doit avoir au moins N+1 moments de fuite. Voir Detecting Discontinuities and Breakdown Points, par exemple. Si vos données sont relativement lisses, avec peu de transitoires, une ondelette plus régulière pourrait mieux convenir à votre travail.

Références

[1] Daubechies, Ingrid. Ten Lectures on Wavelets. Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992.

[2] Morris, Joel M, and Ravindra Peravali. “Minimum-Bandwidth Discrete-Time Wavelets.” Signal Processing 76, no. 2 (July 1999): 181–93. https://doi.org/10.1016/S0165-1684(99)00007-9.

[3] Doroslovački, M.L. “On the Least Asymmetric Wavelets.” IEEE Transactions on Signal Processing 46, no. 4 (April 1998): 1125–30. https://doi.org/10.1109/78.668562.

[4] Han, Bin. “Wavelet Filter Banks.” In Framelets and Wavelets: Algorithms, Analysis, and Applications, 92–98. Applied and Numerical Harmonic Analysis. Cham, Switzerland: Birkhäuser, 2017. https://doi.org/10.1007/978-3-319-68530-4_2.

Voir aussi

Applications

Fonctions

Exemples associés

En savoir plus