dlyap
Résolution des équations de Lyapunov à temps discret
Syntaxe
X = dlyap(A,Q)
X = dlyap(A,B,C)
X = dlyap(A,Q,[],E)
X = dlyap(___,Scaling="off")
Description
X = dlyap(A,Q) résout l’équation de Lyapunov à temps discret AXAT − X + Q = 0,
où A et Q sont des matrices n par n.
La solution X est symétrique lorsque Q est symétrique, et définie positive lorsque Q l'est également. En outre, toutes les données propres de A figurent dans le disque unitaire.
X = dlyap(A,B,C) résout l'équation Sylvester AXB – X + C = 0,
où A, B et C doivent présenter des dimensions compatibles, mais n’ont pas besoin d’être carrées.
X = dlyap(A,Q,[],E) résout l’équation de Lyapunov à temps discret généralisée AXAT – EXET + Q = 0,
où Q est une matrice symétrique. Les crochets vides [] sont obligatoires. Si vous y placez des valeurs, la fonction se solde par une erreur.
X = dlyap(___,Scaling="off") désactive la mise à l’échelle automatique. Lorsque la mise à l’échelle est activée, la fonction applique une forme d’équilibrage aux matrices. La mise à l’échelle peut améliorer la précision en compressant la plage numérique, mais elle peut détériorer la situation lorsque l’application d’une meilleure échelle pour (A,E) entraîne une mise à l’échelle moins appropriée pour B.
Diagnostics
L’équation de Lyapunov à temps discret présente une solution (unique) si les valeurs propres α1, α2, …, αN de A satisfont à αiαj ≠ 1 pour tout (i, j).
Si cette condition n’est pas respectée, dlyap émet le message d’erreur
Solution does not exist or is not unique.
Algorithmes
dlyap utilise les routines SLICOT SB03MD et SG03AD pour les équations de Lyapunov et SB04QD (SLICOT) pour les équations Sylvester.
Références
[1] Barraud, A.Y., “A numerical algorithm to solve A XA - X = Q,” IEEE® Trans. Auto. Contr., AC-22, pp. 883-885, 1977.
[2] Bartels, R.H. and G.W. Stewart, "Solution of the Matrix Equation AX + XB = C," Comm. of the ACM, Vol. 15, No. 9, 1972.
[3] Hammarling, S.J., “Numerical solution of the stable, non-negative definite Lyapunov equation,” IMA J. Num. Anal., Vol. 2, pp. 303-325, 1982.
[4] Higham, N.J., ”FORTRAN codes for estimating the one-norm of a real or complex matrix, with applications to condition estimation,” A.C.M. Trans. Math. Soft., Vol. 14, No. 4, pp. 381-396, 1988.
[5] Penzl, T., ”Numerical solution of generalized Lyapunov equations,” Advances in Comp. Math., Vol. 8, pp. 33-48, 1998.
[6] Golub, G.H., Nash, S. and Van Loan, C.F. “A Hessenberg-Schur method for the problem AX + XB = C,” IEEE Trans. Auto. Contr., AC-24, pp. 909-913, 1979.
[7] Sima, V. C, “Algorithms for Linear-quadratic Optimization,” Marcel Dekker, Inc., New York, 1996.
