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lyap

Solution à l’équation de Lyapunov continue

Syntaxe

lyap
X = lyap(A,Q)
X = lyap(A,B,C)
X = lyap(A,Q,[],E)

Description

lyap résout les formes spéciales et générales de l’équation de Lyapunov. Les équations de Lyapunov interviennent dans plusieurs domaines du contrôle, notamment la théorie de la stabilité et l'étude du comportement RMS des systèmes.

X = lyap(A,Q) résout l'équation de Lyapunov

AX+XAT+Q=0

A et Q représentent des matrices carrées de tailles identiques. Si Q est une matrice symétrique, la solution X en est une également.

X = lyap(A,B,C) résout l'équation Sylvester

AX+XB+C=0

Les matrices A, B et C doivent présenter des dimensions compatibles, mais n’ont pas besoin d’être carrées.

X = lyap(A,Q,[],E) résout l'équation de Lyapunov généralisée

AXET+EXAT+Q=0

Q est une matrice symétrique. Vous devez utiliser des crochets vides [] pour cette fonction. Si vous y placez des valeurs, la fonction se solde par une erreur.

Limitations

L’équation de Lyapunov continue dispose d’une solution unique si les valeurs propres α1,α2,...,αn de A et β1,β2,...,βn de B satisfont

αi+βj0forallpairs(i,j)

Si cette condition n’est pas respectée, lyap émet le message d’erreur suivant :

Solution does not exist or is not unique.

Exemples

Exemple 1

Résolution de l’équation de Lyapunov

Résolution de l'équation de Lyapunov

AX+XAT+Q=0

A=[1234]Q=[3111]

La matrice A est stable et la matrice Q est définie positive.

A = [1 2; -3 -4];  
Q = [3 1; 1 1];
X = lyap(A,Q)
Ces commandes renvoient la matrice X suivante :
X =

    6.1667   -3.8333
   -3.8333    3.0000
Vous pouvez calculer les valeurs propres afin de constater que X est définie positive.

eig(X)

La commande renvoie le résultat suivant :

ans =

    0.4359
    8.7308

Exemple 2

Résolution de l’équation Sylvester

Résolvez l'équation Sylvester

AX+XB+C=0

A=5B=[4343]C=[21]

A = 5;
B = [4 3; 4 3];
C = [2 1];
X = lyap(A,B,C)

Ces commandes renvoient la matrice X suivante :

X =

   -0.2000   -0.0500

Algorithmes

lyap utilise les routines SLICOT SB03MD et SG03AD pour les équations de Lyapunov, et SB04MD (SLICOT) et ZTRSYL (LAPACK) pour les équations Sylvester.

Références

[1] Bartels, R.H. and G.W. Stewart, "Solution of the Matrix Equation AX + XB = C," Comm. of the ACM, Vol. 15, No. 9, 1972.

[2] Barraud, A.Y., “A numerical algorithm to solve A XA - X = Q,” IEEE® Trans. Auto. Contr., AC-22, pp. 883–885, 1977.

[3] Hammarling, S.J., “Numerical solution of the stable, non-negative definite Lyapunov equation,” IMA J. Num. Anal., Vol. 2, pp. 303–325, 1982.

[4] Penzl, T., ”Numerical solution of generalized Lyapunov equations,” Advances in Comp. Math., Vol. 8, pp. 33–48, 1998.

[5] Golub, G.H., Nash, S. and Van Loan, C.F., “A Hessenberg-Schur method for the problem AX + XB = C,” IEEE Trans. Auto. Contr., AC-24, pp. 909–913, 1979.

Historique des versions

Introduit avant R2006a

Voir aussi

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