lyap
Solution à l’équation de Lyapunov continue
Syntaxe
lyap
X = lyap(A,Q)
X = lyap(A,B,C)
X = lyap(A,Q,[],E)
Description
lyap
résout les formes spéciales et générales de l’équation de Lyapunov. Les équations de Lyapunov interviennent dans plusieurs domaines du contrôle, notamment la théorie de la stabilité et l'étude du comportement RMS des systèmes.
X = lyap(A,Q)
résout l'équation de Lyapunov
où A et Q représentent des matrices carrées de tailles identiques. Si Q est une matrice symétrique, la solution X
en est une également.
X = lyap(A,B,C)
résout l'équation Sylvester
Les matrices A
, B
et C
doivent présenter des dimensions compatibles, mais n’ont pas besoin d’être carrées.
X = lyap(A,Q,[],E)
résout l'équation de Lyapunov généralisée
où Q est une matrice symétrique. Vous devez utiliser des crochets vides []
pour cette fonction. Si vous y placez des valeurs, la fonction se solde par une erreur.
Limitations
L’équation de Lyapunov continue dispose d’une solution unique si les valeurs propres de A et de B satisfont
Si cette condition n’est pas respectée, lyap
émet le message d’erreur suivant :
Solution does not exist or is not unique.
Exemples
Exemple 1
Résolution de l’équation de Lyapunov
Résolution de l'équation de Lyapunov
où
La matrice A est stable et la matrice Q est définie positive.
A = [1 2; -3 -4]; Q = [3 1; 1 1]; X = lyap(A,Q)
X = 6.1667 -3.8333 -3.8333 3.0000
eig(X)
La commande renvoie le résultat suivant :
ans = 0.4359 8.7308
Exemple 2
Résolution de l’équation Sylvester
Résolvez l'équation Sylvester
où
A = 5; B = [4 3; 4 3]; C = [2 1]; X = lyap(A,B,C)
Ces commandes renvoient la matrice X suivante :
X = -0.2000 -0.0500
Algorithmes
lyap
utilise les routines SLICOT SB03MD et SG03AD pour les équations de Lyapunov, et SB04MD (SLICOT) et ZTRSYL (LAPACK) pour les équations Sylvester.
Références
[1] Bartels, R.H. and G.W. Stewart, "Solution of the Matrix Equation AX + XB = C," Comm. of the ACM, Vol. 15, No. 9, 1972.
[2] Barraud, A.Y., “A numerical algorithm to solve A XA - X = Q,” IEEE® Trans. Auto. Contr., AC-22, pp. 883–885, 1977.
[3] Hammarling, S.J., “Numerical solution of the stable, non-negative definite Lyapunov equation,” IMA J. Num. Anal., Vol. 2, pp. 303–325, 1982.
[4] Penzl, T., ”Numerical solution of generalized Lyapunov equations,” Advances in Comp. Math., Vol. 8, pp. 33–48, 1998.
[5] Golub, G.H., Nash, S. and Van Loan, C.F., “A Hessenberg-Schur method for the problem AX + XB = C,” IEEE Trans. Auto. Contr., AC-24, pp. 909–913, 1979.
Historique des versions
Introduit avant R2006a