フーリエ変換のsin,cos成分について

初学者です。初歩的な質問失礼いたします。

フーリエ変換のさいにsin波とcos波に分解されると思いますが,fft関数を使用した後に、それぞれの成分ごとのスペクトルパワーを取得したいです。方法を教えてくださいますでしょうか。

また加速度計などの解析で使用されるharmonicRatioは偶関数成分(cos)と奇関数成分(sin)の比率と考えておりますが,単純にパワーの割り算でよろしいのでしょうか。

お詳しい方がいらっしゃいましたらお願いいたします。

Answer 1

[Hernia Baby]

時系列信号でものを言います。

フーリエ変換は時間領域を周波数領域に写像変換します。

例でみてみましょう。10Hzと30Hzの正弦波を合成します。

■ fft を使う

dt = 0.01;
L  = 512;
t = 0:dt:dt*(L-1);
Fs = 1/dt; %サンプリング周波数
y = .5*sin(2*pi*10*t) + 2*sin(2*pi*30*t);
figure
plot(t,y)
xlim([0 t(end)])
xlabel '時間[sec]'
ylabel '信号'

FFTをかけるとどうなるか？複素数に変換されます。

cy = fft(y);
n = 100;
cys = cy([n end-n+2]);
tt = linspace(0,2*pi,100);

% 図示
figure
plot(sin(tt),cos(tt),'--')
axis([-2,2,-2,2])
hold on
plot(cys./(abs(cys)),'o:')
xlabel 'Real'
ylabel 'Imag'
xline(0)
yline(0)
hold off

上記のように複素共役の状態で出されます。

パワースペクトルとはフーリエスペクトルを とすると です。

ここで注意すべきは実効値の二乗でパワースペクトルは算出されるということです。

つまり振幅を A とすると となります。

正規化して以下に示します。

f = Fs*(0:(L/2))/L;
f = f(1:end-1);
P = abs(cy(1:ceil(length(cy)/2)))./(length(y)/2);
P = P.^2;

% 図示
figure
stem(f,P)
hold on
idx = knnsearch(f',[10;30]);
scatter(f(idx),P(idx),'o')
name = round(P(idx),1)';
text(f(idx),P(idx)+0.1,cellstr(num2str(name)));
ylim([0 2.5])
xlabel '周波数[Hz]'
ylabel 'P(f)/Hz'

リーク誤差が発生していますが、上記のように求めることができました。

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次はもっと簡単な方法を紹介します

■ pspectrum を使う

ぶっちゃけ計算は1行で終わります。めちゃくちゃすごいです。

[p,f] = pspectrum(y,Fs);

% 図示
figure
plot(f,p,'--');
xlabel '周波数[Hz]'
ylabel 'P1(f)/Hz'
ylim([0 2.5])
hold on
idx = knnsearch(f,[10;30]);
scatter(f(idx),p(idx),'o')
name = round(p(idx),1);
text(f(idx),p(idx)+0.1,cellstr(num2str(name)));
hold off

■Harmonic Ratio(HR)について

　 だと思います。

　こちらの 式 (2) をご参照ください。

　とはいえ、harmonicRatio は相関係数のような形をしており、少し違う気がしますが…。

[Hernia Baby]

前半の長々としたものは、僕のQiita記事からとってます。

MATLABで行うFFT ~時系列データ生成から片側スペクトルの正規化まで~

[Hernia Baby]

■上記の例では具体的にsin,cos成分はどれになるのでしょうか

　cos成分とsin成分は実部と虚部です。

　パワースペクトルは絶対値をどうこうするので r の部分に相当します。

画像：うさぎでもわかる複素解析　Part1　複素数の基礎・複素数平面・オイラーの公式

■この時左右対象なのでHRはほぼ1になるという解釈でよろしいでしょうか

　基本周波数に対して奇数次成分と偶数次成分の比較から歪度をみるんじゃなかったでしたっけ？

　あまり詳しくはないのではっきりとした回答はできませんが…

　基本周波数 の考えでいくと 0 だと思っています。

Answer 2

[ryu]

大変丁寧な回答ありがとうございます。

pspectrumは知りませんでした。

上記の例では具体的にsin,cos成分はどれになるのでしょうか

複素共役の図で言うとx軸より左がsin,右がsinという解釈でよろしいでしょうか

またこの時左右対象なのでHRはほぼ1になるという解釈でよろしいでしょうか

[Hernia Baby]

自分のコメントに記載しました

[ryu]

大変丁寧に説明して頂きありがとうございました！