対数積分の計算について,About Logarithmic integral function

対数積分の計算について

li(-0.302303-4.46191i)を計算したいです。

Matlabの式に変換すると

logint(-0.302303-4.46191i)

となります。

予想される答えは

-0.105384+3.14749i

ですが

Matlbの計算だと

1.9980 - 3.9138i

となります。

どうすれば正しく計算できるでしょうか？ よろしくお願いします。

Answer 1

[michio]

WolframAlpha で試したところ MATLAB と同じ結果になります。

http://www.wolframalpha.com/input/?x=0&y=0&i=li(-0.302303-4.46191i)

おそらく定義が異なるのかとは思いますが、予想される答えが -0.105384+3.14749i というのはどういう計算をされた場合でしょうか。

[outernet]

回答ありがとうございます。 対数積分の記号が間違っていまして”li”に訂正しました。

本題ですが、 まずはじめに、-0.302303-4.46191iは任意の数にゼータ関数のゼロ点を累乗したものであり。 任意の数20、最初のゼロ点を設定しmatlabの式で表現すると 20^(1/2+14.134725i) となり -0.302303-4.46191i となります。

質問で記載した予想される答えは著書 “素数に憑かれた人たち ~リーマン予想への挑戦~”John Derbyshire (著), 松浦 俊輔 (著) のP391で同じ計算を行っており、 li(20^(1/2+14.134725i))=li(-0.302303-4.46191i)の 解は-0.105384+3.14749iと記載されています。 また著書では、共役となるli(20^(1/2-14.134725i))=li(-0.302303+4.46191i)を計算しており、 解は-0.105384-3.14749iと記載されています。 また著書では、以上の式を合計するとli(20^(1/2+14.134725i))+li(20^(1/2-14.134725i))となり 解は-0.210768と記載されています。

しかし、matlabでlogint(20^(1/2+14.134725i))+logint(20^(1/2-14.134725i))の計算は 3.9959となります。

また、この計算の近似式があり、 Some Calculations Related to Riemann's Prime Number Formula By Hans Riesel and Gunnar Gobi

http://www.ams.org/journals/mcom/1970-24-112/S0025-5718-1970-0277489-3/S0025-5718-1970-0277489-3.pdf

の論文の式(13)を使い、 li(20^(1/2+14.134725i))+li(20^(1/2-14.134725i))の近似式をmatlabで表現すると

2*sqrt(20)/abs(1/2+14.134725i)/log(20)*cos(14.134725*log(20)-angle(1/2+14.134725i))

となり 解は -0.2110となり、著書の答えと小数点第2位まで等しい値となります。

よろしくお願いします。

[michio]

同じ議論がこちらでも行われていました。参考まで。

http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=3889231

[outernet]

サイトによると書籍の式が簡略化されていたようで 正しい式をmatlabの式で表すと ei((1/2+14.134725*i)*log(20)) となり解は-0.1054 + 3.1475iとなり、書籍の解とほぼ一致しました。

ありがとうございました。

[michio]

よかったです。 対数積分について私も勉強になりました。ありがとうございました。

[Yoshio]

format long コマンドを使って 計算結果を見て頂くと、

>>format long 
>>ei((1/2+14.134725*i)*log(20)) 
ans =
-0.105384042414102 + 3.147487521958689i
>>ei((1/2+14.134725*i)*log(20))+ei((1/2-14.134725*i)*log(20))
ans =
-0.210768084828204

となり小数点以下6桁（入力引数の精度）まで一致していることが確認できます。