3重積分をとくには

3重積分を数値的に解くことはできますか？ 例えば２次関数を3重積分することを考えます。内側の2つの積分は0からx(変数)、外側の積分はaからbなど定数となります。 初歩的な質問ですが、よろしくお願いいたします。

Answer 1

[Hernia Baby]

前提

文章を読むに

　3重積分(3変数の積分)というより、

　3回積分したいのかなと思いましたので

　その前提で書きます。

ソリューション

シンボリック値で計算します。

今回はx*sin(x)を内側2つ[0,x]で積分し、外側を[a,b]で積分します。

syms x a b
f = x*sin(x);
f1 = int(f,0,x);
f2 = int(f1,0,x);
f3 = int(f2,a,b)

f3 =

2*b - 2*a + 3*sin(a) - 3*sin(b) - a*cos(a) + b*cos(b)

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数値に変換

ちなみにa=1,b=3にして数字にしたいよって場合は以下の通り。

f3_1 = int(f2,1,3);
y = double(f3_1)

y =

2.5908

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参考

本計算はSimbolic Math Toolboxを使用しています。

積分の参考は↓

https://jp.mathworks.com/help/symbolic/integration.html

[持田]

ご返信ありがとうございます！おっしゃる通り、3重積分ではなく3回積分でした。 一応、そのような機能が提供されていることはわかりました。ありがとうございます。しかし、xsinxの3回積分が手計算と一致しません。 f2の時点で、定積分は -2cosx-xsinx(半角をつかうとしたら4sin(x/2)^2-xsin(x)-2) となるはずですが、 4sin(x/2)^2-xsin(x) となっています。 最終的な答えは-1.4092 となるはずですが、2.5908と出力されています。 どのようなアルゴリズムで動いているか分かりませんが、正しいのでしょうか...？ 間違っていたらすみません。 もう一つ、範囲指定の積分ですとMATLAB本体でもできるのですが、変数が入る場合はsymbolicのtoolboxを使う必要がある、という認識で正しいですか？

[Hernia Baby]

f2の不一致について

不定積分は 　-2cosx-xsinx+C　ですが、今回　[0 x]の定積分　です

[-2cosx][0tox] = -2cosx+2 ←この2が入ります

ですので、2倍角の公式を用いて

f2 = -2cosx - xsinx +2 = 2(1-cosx) - xsinx = 4sin(x/2)^2 - xsinx

となります。

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簡単な式の確認をしたい場合は外部リンクになりますが

Wolfram alphaがお勧めです

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%AB%5B0tox%5Dsin%28x%29-x*cos%28x%29dx&lang=ja

変数が入る積分について

integral関数のことをおっしゃっていると思います。

こちらは数値積分法を使っており、範囲指定が変数(シンボリック)の場合難しいと考えます。

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外部リンクですが数値積分は以下のようなイメージです

https://gihyo.jp/dev/serial/01/java-calculation/0072

[持田]

ありがとうございました。