多変数の非線形連立方程式を解くことはできますか？

MATLAB を使って数値的に、多変数の非線形連立方程式を解く方法を教えてください。

Answer 1

[MathWorks Support Team]

Optimization Toolbox の FSOLVE 関数や LSQNONLIN 関数を使用することで可能です。

以下では、FSOLVE 関数を使用し、

 y = sin(x)

 y^2 = cos(x)

の 2 つの方程式の交点を求める手順を説明します。

1. 式（システム）を F(x,y) = 0 の形に書き直します。

 y - sin(x) = 0

 y^2 - cos(x) = 0

2. FSOLVE 関数の目的関数シンタックスに合わせ、ベクトル 'V = [x; y]'の形で関数を定義します。

F = @(V) [V(2)-sin(V(1)); V(2).^2-cos(V(1))];

※MATLAB 7.0(R14) 以前のバージョンをご利用の場合は、以下のようにインライン関数を用いて記述します。

F = inline('[V(2)-sin(V(1)); V(2).^2-cos(V(1))]', 'V');

3. FSOLVE関数を実行します。

InitialGuess = [1;1]; % x,y の初期値

Options = optimset('Display','iter'); % 繰り返し計算の表示を「オン」に設定

XY = fsolve(F, InitialGuess, Options); % 最適化

4.上記で得られた結果が F(x,y) = 0 を満たしているか、確認します。

ShouldBeZero = F(XY) % 最適化によって得られた x,y の値を目的関数に代入

% 2 つの方程式を表示

ezplot('y = sin(x)');

hold on

ezplot('y^2 = cos(x)');

plot(XY(1),XY(2),'ro'); % 最適化によって得られた x,y の値を表示

この例では、変数 ShouldBeZero の結果は厳密に 0 ではありませんが、FSOLVE 関数における関数出力値の許容誤差(TolFun)のデフォルト値を満たしています。同様に、X,Y の各点は厳密に 2 つの方程式の交点の値ではありませんが、FSOLVE 関数における目的変数の許容誤差(TolX)のデフォルト値を満たしています。