ctrbf

Calculer la forme en escalier de contrôlabilité

Syntaxe

[Abar,Bbar,Cbar,T,k] = ctrbf(A,B,C)
ctrbf(A,B,C,tol)


Description

Si la matrice de contrôlabilité de (A, B) possède un rang r ≤ n, où n est de la taille de A, alors il existe une transformation de similarité de sorte que

$$\begin{array}{ccc}\overline{A}=TA{T}^T,& \overline{B}=TB,& \overline{C}=C{T}^T\end{array}$$

où T est unitaire et le système transformé possède une forme en escalier, dans laquelle les modes incontrôlables, s’il y en a, se trouvent dans le coin supérieur gauche.

$$\begin{array}{ccc}\overline{A}=\left[\begin{array}{cc}{A}_{uc}& 0\\ A_{21}& A_c\end{array}\right],& \overline{B}=\left[\begin{array}{l}0\\ B_c\end{array}\right],& \overline{C}=\left[C_{nc}{C}_c\right]\end{array}$$

où (A_c, B_c) est contrôlable, toutes les valeurs propres de A_uc sont incontrôlables et $$C_c{(sI-A_c)}^{-1}{B}_c=C{(sI-A)}^{-1}B$$.

[Abar,Bbar,Cbar,T,k] = ctrbf(A,B,C) décompose le système de représentation d’état représenté par A, B et C dans la forme en escalier de contrôlabilité, Abar, Bbar et Cbar, décrite ci-dessus. T est la matrice de transformation de similarité et k est un vecteur de longueur n, où n est l’ordre du système représenté par A. Chaque entrée de k représente le nombre d’états contrôlables non pris en compte à chaque étape du calcul de la matrice de transformation. Le nombre d’éléments non nuls de k indique combien d’itérations ont été nécessaires au calcul de T, et sum(k) est le nombre d’états de A_c, la portion contrôlable de Abar.

ctrbf(A,B,C,tol) utilise la tolérance tol lors du calcul des sous-espaces contrôlables/incontrôlables. Quand la tolérance n’est pas spécifiée, elle est par défaut de 10*n*norm(A,1)*eps.

Exemples

Calculez la forme en escalier de contrôlabilité pour

A =
     1     1
     4    -2

B =
     1    -1
     1    -1

C =
     1     0
     0     1

et localisez le mode incontrôlable.

[Abar,Bbar,Cbar,T,k]=ctrbf(A,B,C)

Abar =
   -3.0000         0
   -3.0000    2.0000

Bbar =
    0.0000    0.0000
    1.4142   -1.4142

Cbar =
   -0.7071    0.7071
    0.7071    0.7071

T =
   -0.7071    0.7071
    0.7071    0.7071
k =
     1     0

Le système décomposé Abar montre un mode incontrôlable situé à -3 et un mode contrôlable situé à 2.

Algorithmes

ctrbf implémente l’algorithme en escalier de [1].

Références

[1] Rosenbrock, M.M., State-Space and Multivariable Theory, John Wiley, 1970.

Historique des versions

Introduit avant R2006a

Voir aussi

ctrb | minreal