lqrd

Design d’un régulateur linéaire quadratique (LQ) pour un système physique continu

Syntaxe

lqrd
[Kd,S,e] = lqrd(A,B,Q,R,Ts)
[Kd,S,e] = lqrd(A,B,Q,R,N,Ts)


Description

lqrd conçoit un régulateur à retour d’état complet discret ayant des caractéristiques de réponse similaires à un régulateur à retour d’état continu conçu au moyen de lqr. Cette commande est utile pour concevoir une matrice de gain pour l’implémentation numérique après le design d’un gain à retour d’état continu satisfaisant.

[Kd,S,e] = lqrd(A,B,Q,R,Ts) calcule la loi de retour d’état discret

$$u[n]=-K_{d}x[n]$$

qui minimise un fonction de coût discrète équivalente à la fonction de coût continue

$$J={\displaystyle {\int }_0^{\infty }\left(x^{T}Qx+u^{T}Ru\right)}dt$$

Les matrices A et B spécifient la dynamique de système physique continu

$$\dot{x}=Ax+Bu$$

et Ts spécifie le pas d’échantillonnage du régulateur discret. Sont également renvoyées la solution S de l’équation de Riccati discrète pour le problème discrétisé et les valeurs propres en boucle fermée discrètes e = eig(Ad-Bd*Kd).

[Kd,S,e] = lqrd(A,B,Q,R,N,Ts) résout le problème plus général avec un terme en couplage croisé dans la fonction de coût.

$$J={\displaystyle {\int }_0^{\infty }\left(x^{T}Qx+u^{T}Ru+2x^{T}Nu\right)dt}$$

Limitations

Les données du problème discrétisées devraient répondre aux exigences pour dlqr.

Algorithmes

La matrice de gain discrète équivalente Kd est déterminée en discrétisant le système physique continu et les matrices de pondération au moyen du pas d’échantillonnage Ts et de l’approximation du bloqueur d’ordre zéro.

Avec la notation

$$\begin{array}{cc}\Phi (\tau )=e^{A\tau },& A_d=\Phi (T_s)\\ \Gamma (\tau )={\displaystyle {\int }_0^{\tau }{e}^{A\eta }Bd\eta ,}& B_d=\Gamma (T_s)\end{array}$$

le système physique discrétisé possède les équations

$$x[n+1]=A_{d}x[n]+B_{d}u[n]$$

et les matrices de pondération pour la fonction de coût discrète équivalente sont

$$\left[\begin{array}{cc}{Q}_d& N_d\\ N_d^T& R_d\end{array}\right]={\displaystyle {\int }_0^{T_s}\left[\begin{array}{cc}{\Phi }^T\left(\tau \right)& 0\\ {\Gamma }^T\left(\tau \right)& I\end{array}\right]}\left[\begin{array}{cc}Q& N\\ N^T& R\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\Phi \left(\tau \right)& \Gamma \left(\tau \right)\\ 0& I\end{array}\right]d\tau$$

Les intégrales sont calculées au moyen de formules exponentielles matricielles dues à Van Loan (consultez [2]). Le système physique est discrétisé au moyen de c2d et la matrice de gain est calculée à partir des données discrétisées au moyen de dlqr.

Références

[1] Franklin, G.F., J.D. Powell, and M.L. Workman, Digital Control of Dynamic Systems, Second Edition, Addison-Wesley, 1980, pp. 439-440.

[2] Van Loan, C.F., "Computing Integrals Involving the Matrix Exponential," IEEE^® Trans. Automatic Control, AC-23, June 1978.

Historique des versions

Introduit avant R2006a

Voir aussi

c2d | dlqr | kalmd | lqr