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norm

Normes de vecteurs et de matrices

Syntaxe

n = norm(v)

n = norm(v,p)

n = norm(X)

n = norm(X,p)

n = norm(X,"fro")

Description

n = norm(v) renvoie la norme euclidienne du vecteur v. Cette norme est également connue sous le nom de norme 2, amplitude du vecteur ou longueur euclidienne.

n = norm(v,p) renvoie la norme p du vecteur généralisé.

n = norm(X) renvoie la norme 2 ou la valeur singulière maximale de la matrice X, qui est approximativement max(svd(X)).

n = norm(X,p) renvoie la norme p de la matrice X, où p correspond à 1, 2 ou Inf :

• Si p = 1, alors n est la somme maximale absolue des colonnes de la matrice.

• Si p = 2, alors n correspond approximativement à max(svd(X)). Cette valeur est équivalente à norm(X).

• Si p = Inf, alors n est la somme maximale absolue des lignes de la matrice.

n = norm(X,"fro") renvoie la norme de Frobenius de la matrice ou du tableau X.

Exemples

Amplitude vectorielle

Créez un vecteur et calculez son amplitude.

v = [1 -2 3];
n = norm(v)

n = 3.7417

Norme 1 du vecteur

Calculez la norme 1 d’un vecteur, qui est la somme des amplitudes des éléments.

v = [-2 3 -1];
n = norm(v,1)

n = 6

Distance euclidienne entre deux points

Calculez la distance entre deux points en tant que norme de la différence entre les éléments vectoriels.

Créez deux vecteurs représentant les coordonnées (x,y) de deux points sur le plan euclidien.

a = [0 3];
b = [-2 1];

Utilisez norm pour calculer la distance entre les points.

d = norm(b-a)

d = 2.8284

Géométriquement, la distance entre les points est égale à l’amplitude du vecteur qui s’étend d’un point à l’autre.

$$\begin{array}{l}a=0\underset{}{\overset{ˆ}{i}}+3\underset{}{\overset{ˆ}{j}}\\ b=-2\underset{}{\overset{ˆ}{i}}+1\underset{}{\overset{ˆ}{j}}\\ \\ \begin{array}{rl}{d}_{(a,b)}& =||b-a||\\ & =\sqrt{(-2-0{)}^2+(1-3{)}^2}\\ & =\sqrt{8}\end{array}\end{array}$$

Norme 2 d'une matrice

Calculez la norme 2 d’une matrice, qui est la plus grande valeur singulière.

X = [2 0 1;-1 1 0;-3 3 0];
n = norm(X)

n = 4.7234

Norme de Frobenius d’un N-D Array

Calculez la norme de Frobenius d’un 4D array X, qui équivaut à la norme 2 du vecteur colonne X(:).

X = rand(3,4,4,3);
n = norm(X,"fro")

n = 7.1247

La norme de Frobenius est également utile pour les matrices creuses, car norm(X,2) ne supporte pas les matrices creuses X.

Arguments d'entrée

v — Vecteur en entrée

vecteur

Vecteur en entrée.

Types de données : single | double
Support des nombres complexes : Oui

X — Tableau en entrée

matrice | tableau

Tableau en entrée, spécifié sous forme de matrice ou de tableau. Pour la plupart des types de normes, X doit être une matrice. Toutefois, pour les calculs de la norme de Frobenius, X peut être un tableau.

Types de données : single | double
Support des nombres complexes : Oui

p — Type de norme

2 (par défaut) | scalaire réel positif | Inf | -Inf

Type de norme, spécifié à 2 (par défaut), un scalaire réel positif Inf ou -Inf. Les valeurs valides de p et ce qu’elles renvoient dépendent de la type de la première entrée de norm à savoir une matrice ou un vecteur, comme le montre la table.

Remarque

Cette table ne reflète pas les algorithmes effectivement utilisés dans les calculs.

p	Matrice	Vecteur
1	max(sum(abs(X)))	sum(abs(v))
2	max(svd(X))	sum(abs(v).^2)^(1/2)
Scalaire numérique à valeur réelle, positif	—	sum(abs(v).^p)^(1/p)
Inf	max(sum(abs(X')))	max(abs(v))
-Inf	—	min(abs(v))

Arguments de sortie

n — Valeur de norme

scalaire

Valeur de norme, renvoyée sous forme de scalaire. La norme donne une mesure de l’amplitude des éléments. Par convention :

• norm renvoie NaN si l’entrée contient des valeurs NaN.

• La norme d’une matrice vide est nulle.

En savoir plus

Norme euclidienne

La norme euclidienne (également appelée amplitude du vecteur, longueur euclidienne ou norme 2) d’un vecteur v à N éléments est définie par

$$\Vert v\Vert =\sqrt{{\displaystyle \sum _{k=1}^N{\left|v_k\right|}^2}}.$$

Norme générale d’un vecteur

La définition générale de la norme p d’un vecteur v comportant N éléments est

$${\Vert v\Vert }_p={\left[{\displaystyle \sum _{k=1}^N{\left|v_k\right|}^p}\right]}^{1/p},$$

, où p est une valeur réelle positive, Inf ou -Inf.

• Si p = 1, la norme 1 résultante est la somme des valeurs absolues des éléments du vecteur.

• Si p = 2, la norme 2 résultante donne l’amplitude du vecteur ou sa longueur euclidienne.

• Si p = Inf, alors $${\Vert v\Vert }_{\infty }={\max }_i\left(\left|v\left(i\right)\right|\right)$$.

• Si p = -Inf, alors $${\Vert v\Vert }_{-\infty }={\min }_i\left(\left|v\left(i\right)\right|\right)$$.

Somme absolue maximale des colonnes

La somme absolue maximale des colonnes d’une matrice X de dimension m x n (avec m,n >= 2) est définie par

$${\Vert X\Vert }_1=\underset{1\le j\le n}{\max }\left({\displaystyle \sum _{i=1}^m\left|a_{ij}\right|}\right).$$

Somme absolue maximale des lignes

La somme absolue maximale des lignes d’une matrice X de dimension m x n (avec m,n >= 2) est définie par

$${\Vert X\Vert }_{\infty }=\underset{1\le i\le m}{\max }\left({\displaystyle \sum _{j=1}^n\left|a_{ij}\right|}\right).$$

Norme de Frobenius

La norme de Frobenius d’une matrice X de dimension m x n (avec m,n >= 2) est définie par

$${\Vert X\Vert }_F=\sqrt{{\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j=1}^n{\left|a_{ij}\right|}^2}}}=\sqrt{\text{trace}\left(X^{†}X\right)}.$$

Cette définition s’étend naturellement aux tableaux comportant plus de deux dimensions. Par exemple, si X est un N-D Array de dimension m x n x p x ... x q, la norme de Frobenius est

$${\Vert X\Vert }_F=\sqrt{{\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j=1}^n{\displaystyle \sum _{k=1}^p\mathrm{...}{\displaystyle \sum _{w=1}^q{\left|a_{ijk\mathrm{...}w}\right|}^2}}}}}.$$

Conseils

• Utilisez vecnorm pour traiter une matrice ou un tableau en tant que collection de vecteurs et calculez la norme le long d’une dimension spécifiée. Par exemple, vecnorm peut calculer la norme de chaque colonne d’une matrice.

Capacités étendues

Tall arrays

Calculer avec des arrays possédant plus de rangées que la mémoire ne peut en contenir.

Cette fonction supporte entièrement les tall arrays. Pour plus d’informations, consultez Tall array.

Génération de code C/C++

Générez du code C et C++ avec MATLAB® Coder™.

Notes d’usage et limitations :

• La génération de code ne supporte pas les matrices creuses en entrée pour cette fonction.

Environnement basé sur les threads

Exécutez du code en arrière-plan avec MATLAB® backgroundPool ou accélérez le code avec Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool.

Cette fonction supporte entièrement les environnements basés sur des threads. Pour plus d’informations, consultez Run MATLAB Functions in Thread-Based Environment.

GPU Arrays

Accélérez le code en exécutant les calculs sur une unité de traitement graphique (GPU) avec Parallel Computing Toolbox™.

Cette fonction supporte entièrement les GPU arrays. Pour plus d’informations, consultez Run MATLAB Functions on a GPU (Parallel Computing Toolbox).

Distributed arrays

Divisez les tableaux volumineux dans la mémoire combinée de votre cluster avec Parallel Computing Toolbox™.

Cette fonction supporte entièrement les distributed arrays. Pour plus d’informations, consultez Run MATLAB Functions with Distributed Arrays (Parallel Computing Toolbox).

Historique des versions

Introduit avant R2006a

R2022a: La norme de Frobenius supporte les N-D Array

Les calculs de normes de la forme norm(X,"fro") supportent les N-D Array en entrée.

Voir aussi

vecnorm | pagenorm | normest | normalize | cond | hypot