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times, .*

Multiplication de quaternions par éléments

Syntaxe

quatC = A.*B

Description

quatC = A.*B renvoie la multiplication de quaternions élément par élément des tableaux de quaternions.

Vous pouvez utiliser la multiplication par quaternions pour composer des opérateurs de rotation :

• Pour composer une séquence de rotations de trames, multipliez les quaternions dans le même ordre que la séquence de rotations souhaitée. Par exemple, pour appliquer un quaternion p suivi d'un quaternion q , multipliez dans l'ordre pq. L'opérateur de rotation devient $${\left(pq\right)}^{\ast }v\left(pq\right)$$, où v représente l'objet à faire pivoter sous forme de quaternion. * représente la conjugaison.

• Pour composer une séquence de rotations de points, multipliez les quaternions dans l'ordre inverse de la séquence de rotations souhaitée. Par exemple, pour appliquer un quaternion p suivi d'un quaternion q , multipliez dans l'ordre inverse, qp. L'opérateur de rotation devient $$\left(qp\right)v{\left(qp\right)}^{\ast }$$.

Exemples

Multiplier deux vecteurs quaternions

Créez deux vecteurs, A et B, et multipliez-les élément par élément.

A = quaternion([1:4;5:8]);
B = A;
C = A.*B

C = 2x1 quaternion array
     -28 +   4i +   6j +   8k
    -124 +  60i +  70j +  80k

Multiplier deux tableaux de quaternions

Créez deux tableaux 3 par 3, A et B, et multipliez-les élément par élément.

A = reshape(quaternion(randn(9,4)),3,3);
B = reshape(quaternion(randn(9,4)),3,3);
C = A.*B

C = 3x3 quaternion array
     0.60169 +  2.4332i -  2.5844j + 0.51646k    -0.49513 +  1.1722i +  4.4401j -   1.217k      2.3126 + 0.16856i +  1.0474j -  1.0921k
     -4.2329 +  2.4547i +  3.7768j + 0.77484k    -0.65232 - 0.43112i -  1.4645j - 0.90073k     -1.8897 - 0.99593i +  3.8331j + 0.12013k
     -4.4159 +  2.1926i +  1.9037j -  4.0303k     -2.0232 +  0.4205i - 0.17288j +  3.8529k     -2.9137 -  5.5239i -  1.3676j +  3.0654k

Notez que la multiplication des quaternions n'est pas commutative :

isequal(C,B.*A)

ans = logical
   0

Multiplier les vecteurs de lignes et de colonnes de quaternions

Créez un vecteur ligne a et un vecteur colonne b, puis multipliez-les. Le vecteur ligne 1 sur 3 et le vecteur colonne 4 sur 1 se combinent pour produire une matrice 4 sur 3 avec toutes les combinaisons d'éléments multipliées.

a = [zeros("quaternion"),ones("quaternion"),quaternion(randn(1,4))]

a = 1x3 quaternion array
           0 +       0i +       0j +       0k           1 +       0i +       0j +       0k     0.53767 +  1.8339i -  2.2588j + 0.86217k

b = quaternion(randn(4,4))

b = 4x1 quaternion array
      0.31877 +   3.5784i +   0.7254j -  0.12414k
      -1.3077 +   2.7694i - 0.063055j +   1.4897k
     -0.43359 -   1.3499i +  0.71474j +    1.409k
      0.34262 +   3.0349i -  0.20497j +   1.4172k

a.*b

ans = 4x3 quaternion array
            0 +        0i +        0j +        0k      0.31877 +   3.5784i +   0.7254j -  0.12414k      -4.6454 +   2.1636i +   2.9828j +   9.6214k
            0 +        0i +        0j +        0k      -1.3077 +   2.7694i - 0.063055j +   1.4897k      -7.2087 -   4.2197i +   2.5758j +   5.8136k
            0 +        0i +        0j +        0k     -0.43359 -   1.3499i +  0.71474j +    1.409k       2.6421 -     5.32i -   2.3841j -   1.3547k
            0 +        0i +        0j +        0k      0.34262 +   3.0349i -  0.20497j +   1.4172k      -7.0663 -  0.76439i -  0.86648j +   7.5369k

Arguments d'entrée

A — Entrée à multiplier

Objet quaternion | tableau d'objets quaternion | scalaire réel | tableau de nombres réels

Entrée à multiplier, spécifiée comme un objet quaternion , un tableau d'objets quaternion de n'importe quelle dimensionnalité, un scalaire réel ou un tableau de nombres réels de n'importe quelle dimensionnalité. Les valeurs numériques doivent être du type de données single ou double.

A et B doivent avoir des tailles compatibles. Dans les cas les plus simples, ils peuvent être de la même taille ou l'un d'entre eux peut être un scalaire. Deux entrées ont des tailles compatibles si, pour chaque dimension, les tailles des dimensions des entrées sont les mêmes ou si l'une d'entre elles est 1.

B — Entrée à multiplier

Objet quaternion | tableau d'objets quaternion | scalaire réel | tableau de nombres réels

Entrée à multiplier, spécifiée comme un objet quaternion , un tableau d'objets quaternion de n'importe quelle dimensionnalité, un scalaire réel ou un tableau de nombres réels de n'importe quelle dimensionnalité. Les valeurs numériques doivent être du type de données single ou double.

A et B doivent avoir des tailles compatibles. Dans les cas les plus simples, ils peuvent être de la même taille ou l'un d'entre eux peut être un scalaire. Deux entrées ont des tailles compatibles si, pour chaque dimension, les tailles des dimensions des entrées sont les mêmes ou si l'une d'entre elles est 1.

Arguments de sortie

quatC — Produit quaternion

Objet quaternion | tableau d'objets quaternion

Produit Quaternion, renvoyé sous la forme d'un objet quaternion ou d'un tableau d'objets quaternion .

Algorithmes

Multiplication de quaternions par un scalaire réel

Étant donné un quaternion,

$$q=a_{\text{q}}+b_{\text{q}}\text{i}+c_{\text{q}}\text{j}+d_{\text{q}}\text{k,}$$

le produit de q et un β réel scalaire est

$$\beta q=\beta a_{\text{q}}+\beta b_{\text{q}}\text{i}+\beta c_{\text{q}}\text{j}+\beta d_{\text{q}}\text{k}$$

Multiplication de quaternions par un scalaire de quaternions

La définition des éléments de base des quaternions,

$${\text{i}}^2={\text{j}}^2={\text{k}}^2=\text{ijk}=-1,$$

peut être développé pour remplir un tableau résumant la multiplication des éléments de base des quaternions :

	"1"	"je"	j	k
"1"	1	je	j	k
"je"	je	−1	k	−j
j	j	−k	−1	je
k	k	j	−je	−1

Lors de la lecture du tableau, les lignes sont lues en premier, par exemple : ij = k et ji = −k.

Étant donné deux quaternions, $$q=a_{\text{q}}+b_{\text{q}}\text{i}+c_{\text{q}}\text{j}+d_{\text{q}}\text{k,}$$ et $$p=a_{\text{p}}+b_{\text{p}}\text{i}+c_{\text{p}}\text{j}+d_{\text{p}}\text{k}$$, la multiplication peut être développée comme suit :

$$\begin{array}{l}z=pq=\left(a_{\text{p}}+b_{\text{p}}\text{i}+c_{\text{p}}\text{j}+d_{\text{p}}\text{k}\right)\left(a_{\text{q}}+b_{\text{q}}\text{i}+c_{\text{q}}\text{j}+d_{\text{q}}\text{k}\right)\\ =a_{\text{p}}{a}_{\text{q}}+a_{\text{p}}{b}_{\text{q}}\text{i}+a_{\text{p}}{c}_{\text{q}}\text{j}+a_{\text{p}}{d}_{\text{q}}\text{k}\\ +b_{\text{p}}{a}_{\text{q}}\text{i}+b_{\text{p}}{b}_{\text{q}}{\text{i}}^2+b_{\text{p}}{c}_{\text{q}}\text{ij}+b_{\text{p}}{d}_{\text{q}}\text{ik}\\ +c_{\text{p}}{a}_{\text{q}}\text{j}+c_{\text{p}}{b}_{\text{q}}\text{ji}+c_{\text{p}}{c}_{\text{q}}{\text{j}}^2+c_{\text{p}}{d}_{\text{q}}\text{jk}\\ +d_{\text{p}}{a}_{\text{q}}k+d_{\text{p}}{b}_{\text{q}}\text{ki}+d_{\text{p}}{c}_{\text{q}}\text{kj}+d_{\text{p}}{d}_{\text{q}}{\text{k}}^2\end{array}$$

Vous pouvez simplifier l'équation en utilisant la table de multiplication des quaternions.

$$\begin{array}{l}z=pq=a_{\text{p}}{a}_{\text{q}}+a_{\text{p}}{b}_{\text{q}}\text{i}+a_{\text{p}}{c}_{\text{q}}\text{j}+a_{\text{p}}{d}_{\text{q}}\text{k}\\ +b_{\text{p}}{a}_{\text{q}}\text{i}-b_{\text{p}}{b}_{\text{q}}+b_{\text{p}}{c}_{\text{q}}\text{k}-b_{\text{p}}{d}_{\text{q}}\text{j}\\ +c_{\text{p}}{a}_{\text{q}}\text{j}-c_{\text{p}}{b}_{\text{q}}\text{k}-c_{\text{p}}{c}_{\text{q}}+c_{\text{p}}{d}_{\text{q}}\text{i}\\ +d_{\text{p}}{a}_{\text{q}}k+d_{\text{p}}{b}_{\text{q}}\text{j}-d_{\text{p}}{c}_{\text{q}}\text{i}-d_{\text{p}}{d}_{\text{q}}\end{array}$$

Références

[1] Kuipers, Jack B. Quaternions and Rotation Sequences: A Primer with Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2007.

Capacités étendues

Génération de code C/C++
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Historique des versions

Introduit dans R2019b

Voir aussi

Fonctions

• prod | mtimes, *

Objets

• quaternion

Rubriques

• Rotations, Orientation, and Quaternions