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parfois, *

Multiplication des quaternions

Syntaxe

quatC = A*B

Description

quatC = A*B implémente la multiplication de quaternions si A ou B est un quaternion. Soit A ou B doit être un scalaire.

Vous pouvez utiliser la multiplication par quaternions pour composer des opérateurs de rotation :

• Pour composer une séquence de rotations de trame, multipliez les quaternions dans l'ordre de la séquence de rotations souhaitée. Par exemple, pour appliquer un quaternion p suivi d'un quaternion q , multipliez dans l'ordre pq. L'opérateur de rotation devient $${\left(pq\right)}^{\ast }v\left(pq\right)$$, où v représente l'objet à faire pivoter spécifié sous forme de quaternion. * représente la conjugaison.

• Pour composer une séquence de rotations de points, multipliez les quaternions dans l'ordre inverse de la séquence de rotations souhaitée. Par exemple, pour appliquer un quaternion p suivi d'un quaternion q , multipliez dans l'ordre inverse, qp. L'opérateur de rotation devient $$\left(qp\right)v{\left(qp\right)}^{\ast }$$.

Exemples

Multiplier le scalaire du quaternion et le vecteur du quaternion

Créez un vecteur colonne 4 par 1, A, et un scalaire, b. Multipliez A par b.

A = quaternion(randn(4,4))

A = 4x1 quaternion array
      0.53767 +  0.31877i +   3.5784j +   0.7254k
       1.8339 -   1.3077i +   2.7694j - 0.063055k
      -2.2588 -  0.43359i -   1.3499j +  0.71474k
      0.86217 +  0.34262i +   3.0349j -  0.20497k

b = quaternion(randn(1,4))

b = quaternion
    -0.12414 +  1.4897i +   1.409j +  1.4172k

C = A*b

C = 4x1 quaternion array
      -6.6117 +   4.8105i +  0.94224j -   4.2097k
      -2.0925 +   6.9079i +   3.9995j -   3.3614k
       1.8155 -   6.2313i -    1.336j -     1.89k
      -4.6033 +   5.8317i + 0.047161j -    2.791k

Arguments d'entrée

A — Entrée à multiplier

Objet quaternion | tableau d'objets quaternion | scalaire réel | tableau de nombres réels

Entrée à multiplier, spécifiée comme un objet quaternion , un tableau d'objets quaternion de n'importe quelle dimensionnalité, un scalaire réel ou un tableau de nombres réels de n'importe quelle dimensionnalité. Les valeurs numériques doivent être du type de données single ou double.

Si B est non scalaire, alors A doit être scalaire.

B — Entrée à multiplier

Objet quaternion | tableau d'objets quaternion | scalaire réel | tableau de nombres réels

Entrée à multiplier, spécifiée comme un objet quaternion , un tableau d'objets quaternion de n'importe quelle dimensionnalité, un scalaire réel ou un tableau de nombres réels de n'importe quelle dimensionnalité. Les valeurs numériques doivent être du type de données single ou double.

Si A est non scalaire, alors B doit être scalaire.

Arguments de sortie

quatC — Produit quaternion

Objet quaternion | tableau d'objets quaternion

Produit Quaternion, renvoyé sous la forme d'un objet quaternion ou d'un tableau d'objets quaternion .

Algorithmes

Multiplication de quaternions par un scalaire réel

Étant donné un quaternion

$$q=a_{\text{q}}+b_{\text{q}}\text{i}+c_{\text{q}}\text{j}+d_{\text{q}}\text{k,}$$

le produit de q et un β réel scalaire est

$$\beta q=\beta a_{\text{q}}+\beta b_{\text{q}}\text{i}+\beta c_{\text{q}}\text{j}+\beta d_{\text{q}}\text{k}$$

Multiplication de quaternions par un scalaire de quaternions

La définition des éléments de base des quaternions,

$${\text{i}}^2={\text{j}}^2={\text{k}}^2=\text{ijk}=-1,$$

peut être développé pour remplir un tableau résumant la multiplication des éléments de base des quaternions :

	"1"	"je"	j	k
"1"	1	je	j	k
"je"	je	−1	k	−j
j	j	−k	−1	je
k	k	j	−je	−1

Lors de la lecture du tableau, les lignes sont lues en premier, par exemple : ij = k et ji = −k.

Étant donné deux quaternions, $$q=a_{\text{q}}+b_{\text{q}}\text{i}+c_{\text{q}}\text{j}+d_{\text{q}}\text{k,}$$ et $$p=a_{\text{p}}+b_{\text{p}}\text{i}+c_{\text{p}}\text{j}+d_{\text{p}}\text{k}$$, la multiplication peut être développée comme suit :

$$\begin{array}{l}z=pq=\left(a_{\text{p}}+b_{\text{p}}\text{i}+c_{\text{p}}\text{j}+d_{\text{p}}\text{k}\right)\left(a_{\text{q}}+b_{\text{q}}\text{i}+c_{\text{q}}\text{j}+d_{\text{q}}\text{k}\right)\\ =a_{\text{p}}{a}_{\text{q}}+a_{\text{p}}{b}_{\text{q}}\text{i}+a_{\text{p}}{c}_{\text{q}}\text{j}+a_{\text{p}}{d}_{\text{q}}\text{k}\\ +b_{\text{p}}{a}_{\text{q}}\text{i}+b_{\text{p}}{b}_{\text{q}}{\text{i}}^2+b_{\text{p}}{c}_{\text{q}}\text{ij}+b_{\text{p}}{d}_{\text{q}}\text{ik}\\ +c_{\text{p}}{a}_{\text{q}}\text{j}+c_{\text{p}}{b}_{\text{q}}\text{ji}+c_{\text{p}}{c}_{\text{q}}{\text{j}}^2+c_{\text{p}}{d}_{\text{q}}\text{jk}\\ +d_{\text{p}}{a}_{\text{q}}k+d_{\text{p}}{b}_{\text{q}}\text{ki}+d_{\text{p}}{c}_{\text{q}}\text{kj}+d_{\text{p}}{d}_{\text{q}}{\text{k}}^2\end{array}$$

Vous pouvez simplifier l'équation en utilisant la table de multiplication des quaternions :

$$\begin{array}{l}z=pq=a_{\text{p}}{a}_{\text{q}}+a_{\text{p}}{b}_{\text{q}}\text{i}+a_{\text{p}}{c}_{\text{q}}\text{j}+a_{\text{p}}{d}_{\text{q}}\text{k}\\ +b_{\text{p}}{a}_{\text{q}}\text{i}-b_{\text{p}}{b}_{\text{q}}+b_{\text{p}}{c}_{\text{q}}\text{k}-b_{\text{p}}{d}_{\text{q}}\text{j}\\ +c_{\text{p}}{a}_{\text{q}}\text{j}-c_{\text{p}}{b}_{\text{q}}\text{k}-c_{\text{p}}{c}_{\text{q}}+c_{\text{p}}{d}_{\text{q}}\text{i}\\ +d_{\text{p}}{a}_{\text{q}}k+d_{\text{p}}{b}_{\text{q}}\text{j}-d_{\text{p}}{c}_{\text{q}}\text{i}-d_{\text{p}}{d}_{\text{q}}\end{array}$$

Références

[1] Kuipers, Jack B. Quaternions and Rotation Sequences: A Primer with Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2007.

Capacités étendues

Génération de code C/C++
Générez du code C et C++ avec MATLAB® Coder™.

Historique des versions

Introduit dans R2019b

Voir aussi

Fonctions

• .*,times

Objets

• quaternion

Rubriques

• Rotations, Orientation, and Quaternions