Transformée en ondelettes continue et analyse à l'échelle

Définition de la transformée en ondelettes continue

Comme la transformée de Fourier, la transformée en ondelettes continue (CWT) utilise le produit scalaire pour mesurer la similarité entre un signal et une fonction d'analyse. Dans la transformée de Fourier, les fonctions d'analyse sont des exponentielles complexes, $$e^{j\omega t}$$. La transformée résultante est une fonction d'une seule variable, ω. Dans la transformée de Fourier à court terme (STFT), les fonctions d'analyse sont des exponentielles complexes fenêtrées, $$w(t)e^{j\omega t}$$, et le résultat est une fonction à deux variables. Les coefficients STFT, $$F(\omega ,\tau ),$$, représentent la correspondance entre le signal et une sinusoïde de fréquence angulaire ω dans un intervalle de longueur spécifiée centré sur τ.

Dans la CWT, la fonction d'analyse est une ondelette, ψ. La CWT compare le signal à des versions décalées et compressées ou étirées d'une ondelette. L'étirement ou la compression d'une fonction sont collectivement appelés dilatation ou mise à l’échelle et correspondent à la notion physique de la mise à l’échelle. En comparant le signal à l'ondelette à différentes échelles et positions, vous obtenez une fonction de deux variables. La représentation 2-D d'un signal 1-D est redondante. Si l'ondelette est à valeur complexe, la CWT est une fonction à valeur complexe de l'échelle et de la position. Si le signal est à valeur réelle, la CWT est une fonction à valeur réelle de l'échelle et de la position. Pour un paramètre d'échelle, a>0, et une position, b, la CWT est :

$$C(a,b;f(t),\psi (t))={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }f}(t)\frac{1}{a}{\psi }^{*}\left(\frac{t-b}{a}\right)dt$$

où $$*$$ désigne le conjugué complexe. Non seulement les valeurs d'échelle et de position affectent les coefficients CWT, mais le choix de l'ondelette affecte également les valeurs des coefficients.

En faisant varier continuellement les valeurs du paramètre d'échelle, a, et du paramètre de position, b, vous obtenez les coefficients cwt C(a,b). Notez que, pour des raisons de commodité, la dépendance des coefficients CWT par rapport à la fonction et à l'ondelette d'analyse a été supprimée.

En multipliant chaque coefficient par l'ondelette adéquatement mise à l'échelle et décalée, on obtient les ondelettes constitutives du signal d'origine.

De nombreuses ondelettes différentes et admissibles peuvent être utilisées dans la CWT. S'il peut sembler déroutant qu'il y ait autant de choix pour l'ondelette d'analyse, il s’agit en fait d’une force de l'analyse par ondelettes. En fonction des caractéristiques du signal que vous essayez de détecter, vous êtes libre de choisir une ondelette qui facilite la détection de cette caractéristique. Par exemple, si vous essayez de détecter des discontinuités abruptes dans votre signal, vous pouvez choisir une ondelette particulière. En revanche, si vous souhaitez trouver des oscillations avec des apparitions et disparitions lissées, vous êtes libre de choisir une ondelette qui correspond davantage à ce comportement.

Échelle

Tout comme le concept de fréquence, l'échelle est une autre propriété utile des signaux et des images. Par exemple, vous pouvez analyser les données de température pour détecter les changements à différentes échelles. Vous pouvez examiner les changements d'année en année ou de décennie en décennie. Bien entendu, vous pouvez également examiner les changements à une échelle plus fine (au jour le jour) ou plus large. Certains processus révèlent des changements intéressants sur de longues échelles temporelles ou spatiales qui ne sont pas évidents sur de petites échelles temporelles ou spatiales. La situation inverse se produit également. Certaines de nos capacités perceptives présentent une invariance d'échelle. Vous reconnaissez les personnes que vous connaissez, que vous regardiez un grand portrait ou une petite photographie.

Pour aller au-delà des descriptions familières telles que « étirement » ou « rétrécissement », nous introduisons le facteur d'échelle, souvent désigné par la lettre a. Le facteur d'échelle est une quantité intrinsèquement positive, a>0. Pour les sinusoïdes, l'effet du facteur d'échelle est très facile à voir.

Dans sin(at), l'échelle est l'inverse de la fréquence radiale, a.

Le facteur d'échelle fonctionne exactement de la même manière avec les ondelettes. Plus le facteur d'échelle est petit, plus l'ondelette est « compressée ». Inversement, plus l'échelle est grande, plus l'ondelette est étirée. La figure suivante illustre ce phénomène pour les ondelettes aux échelles 1, 2 et 4.

Cette relation inverse globale entre l'échelle et la fréquence est valable pour les signaux en général.

Non seulement la représentation de l'échelle temporelle est une façon différente de voir les données, mais c'est aussi une façon très naturelle de voir les données dérivées d'un grand nombre de phénomènes naturels.

Échelle et fréquence

Il existe clairement une relation entre l'échelle et la fréquence. Rappelons que les échelles les plus longues correspondent aux ondelettes les plus « étirées ». Plus l'ondelette est étirée, plus la partie du signal avec laquelle elle est comparée est longue, et plus les caractéristiques du signal mesurées par les coefficients de l'ondelette sont donc grossières.

En résumé, la correspondance générale entre l'échelle et la fréquence est la suivante :

• Petite échelle a ⇒ Ondelette compressée ⇒ Détails changeant rapidement ⇒ ω haute fréquence.

• Longue échelle a ⇒ Ondelette étirée ⇒ Changement lent, caractéristiques grossières ⇒ ω basse fréquence.

Même si l'on constate une relation générale entre l'échelle et la fréquence, il n'existe pas de relation précise. Les utilisateurs connaissant l'analyse de Fourier souhaitent souvent définir une correspondance entre une ondelette à une échelle donnée avec une période d'échantillonnage spécifiée et une fréquence en hertz. Vous ne pouvez le faire que de manière générale. Il est donc préférable de parler de la pseudo-fréquence correspondant à une échelle. Le software Wavelet Toolbox™ propose deux fonctions centfrq et scal2frq, qui vous permettent de trouver ces relations approximatives échelle-fréquence pour des ondelettes et des échelles spécifiées.

L'approche de base identifie la puissance maximale dans la transformée de Fourier de l'ondelette comme sa fréquence centrale et divise cette valeur par le produit de l'échelle et de l'intervalle d'échantillonnage. Voir scal2frq, pour plus d’informations. Cette figure montre la correspondance entre la fréquence centrale estimée de l'ondelette db8 et une sinusoïde de la même fréquence.

La relation entre l'échelle et la fréquence dans la CWT est également explorée dans Transformée en ondelettes continue comme filtre passe-bande.

Décalage

Décaler une ondelette signifie simplement retarder (ou avancer) son apparition. Mathématiquement, le décalage d’une fonction f(t) par k est représenté par f(t – k) :

La CWT en tant que transformée fenêtrée

Dans Transformée de Fourier à court terme, la STFT est décrite comme un fenêtrage du signal pour créer une analyse de fréquence locale. Un inconvénient de l'approche STFT est que la taille de la fenêtre est constante. Le choix de la taille des fenêtres est un compromis. Une fenêtre temporelle plus longue améliore la résolution en fréquence tout en entraînant une moins bonne résolution temporelle car la transformée de Fourier perd toute résolution temporelle sur la durée de la fenêtre. Inversement, une fenêtre temporelle plus courte améliore la localisation temporelle tout en entraînant une moins bonne résolution fréquentielle.

L'analyse par ondelettes représente l'étape logique suivante : une technique de fenêtrage avec des régions de taille variable. L'analyse par ondelettes permet d'utiliser de longs intervalles de temps lorsque vous souhaitez obtenir des informations plus précises à basse fréquence, et des régions plus courtes lorsque vous souhaitez obtenir des informations à haute fréquence.

La figure suivante met en contraste les différents modes de décomposition du plan temps-fréquence par la STFT et l'analyse par ondelettes.