Choisir une structure pour un système physique identifié

PID Tuner propose deux types de structures de modèle pour représenter la dynamique du système physique : les modèles de processus et les modèles de représentation d'état.

Utilisez votre connaissance des caractéristiques du système et le niveau de précision requis par votre application pour choisir une structure de modèle. En l'absence d'informations préalables, vous pouvez vous faire une idée de l'ordre de la dynamique et des retards en analysant la réponse indicielle et la réponse en fréquence du système obtenues expérimentalement. Pour plus d'informations, consultez les sections suivantes dans la documentation System Identification Toolbox™ :

Correlation Models (System Identification Toolbox)
Frequency-Response Models (System Identification Toolbox)

Chaque structure de modèle que vous choisissez est associée à des éléments dynamiques, ou des paramètres de modèle. Vous ajustez les valeurs de ces paramètres manuellement ou automatiquement pour trouver un modèle identifié qui donne une correspondance satisfaisante à vos données de réponse mesurées ou simulées. Dans de nombreux cas, lorsque vous n'êtes pas sûr de la structure à utiliser, il est utile de commencer par la structure de modèle la plus simple, la fonction de transfert avec un pôle. Vous pouvez progressivement essayer l'identification avec des structures d'ordre supérieur jusqu'à ce que vous obteniez une correspondance satisfaisante entre la réponse du système physique et la sortie mesurée. La structure du modèle de représentation d'état permet une recherche automatique d'ordre optimal du modèle sur la base d'une analyse des données entrée-sortie.

Lorsque vous commencez la tâche d'identification du système physique, une structure de modèle de fonction de transfert à un pôle réel est sélectionnée par défaut. Cette configuration par défaut n'est pas sensible à la nature des données et peut ne pas convenir à votre application. Il est donc recommandé de choisir une structure de modèle appropriée avant de procéder à l'identification des paramètres.

Modèles de processus

Les modèles de processus sont des fonctions de transfert avec 3 pôles ou moins, et peuvent être augmentés par l'ajout d'éléments zéro, de retard et d'intégrateur. Les modèles de processus sont paramétrés selon des modèles représentant les constantes de temps, le gain et le retard. Dans PID Tuner, choisissez un modèle de processus dans l'onglet Plant Identification en utilisant le menu Structure.

Pour toute structure choisie, vous pouvez éventuellement ajouter un retard, un zéro et/ou un élément intégrateur en utilisant les cases à cocher correspondantes. Cliquez sur Edit Parameters pour visualiser la fonction de transfert du modèle configurée par ces choix.

Le modèle de processus le plus simple disponible est une fonction de transfert avec un pôle réel et aucun zéro ou éléments de retard :

$H (s) = \frac{K}{T_{1} s + 1} .$

Ce modèle est défini par les paramètres K, le gain, et T₁, la première constante de temps. La structure de modèle de processus la plus complexe possède trois pôles, un intégrateur supplémentaire, un zéro et un retard comme le modèle suivant, qui possède un pôle réel et une paire de pôles complexes conjugués :

$H (s) = K \frac{T_{z} s + 1}{s (T_{1} s + 1) (T_{ω}^{2} s^{2} + 2 ζ T_{ω} s + 1)} e^{- τ s} .$

Dans ce modèle, les paramètres configurables comprennent les constantes de temps associées aux pôles et au zéro, T₁, T_ω et T_z. Les autres paramètres sont le coefficient d'amortissement ζ, le gain K, et le retard τ.

Lorsque vous sélectionnez un type de modèle de processus, PID Tuner calcule automatiquement les valeurs initiales des paramètres du système physique et affiche un graphique présentant à la fois la réponse estimée du modèle et vos données mesurées ou simulées. Vous pouvez modifier les valeurs des paramètres de manière graphique à l'aide d'indicateurs sur le graphique ou de manière numérique avec l'éditeur de paramètres du système physique. Pour un exemple illustrant ce processus, veuillez consulter Estimer de manière interactive les paramètres du système physique à partir des données de réponse.

Le tableau suivant résume les différents paramètres qui définissent les types de modèles de processus disponibles.

Paramètre	Utilisé par	Description
K : gain	Toutes les fonctions de transfert	Peut prendre n'importe quelle valeur réelle. Dans le graphique, faites glisser la courbe de réponse du système physique (bleue) vers le haut ou le bas pour ajuster K.
T₁ : première constante de temps	Fonction de transfert avec un ou plusieurs pôles réels	Peut prendre toute valeur comprise entre 0 et T, la durée de mesure ou de simulation des données. Dans le graphique, faites glisser le x rouge vers la gauche (vers zéro) ou vers la droite (vers T) pour ajuster T₁.
T₂ : deuxième constante de temps	Fonction de transfert avec deux pôles réels	Peut prendre toute valeur comprise entre 0 et T, la durée de mesure ou de simulations des données. Dans le graphique, faites glisser le x magenta vers la gauche (vers zéro) ou vers la droite (vers T) pour ajuster T₂.
T_ω : constante de temps associée à la fréquence naturelle ω_n, où T_ω = 1/ω_n	Fonction de transfert avec paire de pôles sous-amortis (paire de conjugués complexes)	Peut prendre toute valeur comprise entre 0 et T, la durée de mesure ou de simulation des données. Dans le graphique, faites glisser l'une des courbes orange de l'enveloppe de réponse vers la gauche (vers zéro) ou vers la droite (vers T) pour ajuster T_ω.
ζ : coefficient d'amortissement	Fonction de transfert avec paire de pôles sous-amortis (paire de conjugués complexes)	Peut prendre toute valeur comprise entre 0 et 1. Dans le graphique, faites glisser l'une des courbes orange de l'enveloppe de réponse vers la gauche (vers zéro) ou vers la droite (vers T) pour ajuster ζ.
τ : retard de transport	Toute fonction de transfert	Peut prendre toute valeur comprise entre 0 et T, la durée de mesure ou de simulation des données. Dans le graphique, faites glisser la barre verticale orange vers la gauche (vers zéro) ou vers la droite (vers T) pour ajuster τ.
T_z : modèle zéro	Toute fonction de transfert	Peut prendre toute valeur comprise entre –T et T, la durée de mesure ou de simulation des données. Dans le graphique, faites glisser le cercle rouge vers la gauche (vers -T) ou vers la droite (vers T) pour ajuster T_z.
Intégrateur	Toute fonction de transfert	Ajoute un facteur de 1/s à la fonction de transfert. Il n'y a pas de paramètre associé à régler.

Modèles de représentation d'état

La structure du modèles de représentation d'état pour l'identification est principalement définie par le choix du nombre d'états, l'ordre du modèle. Utilisez la structure de modèles de représentation d'état lorsque les modèles d'ordre supérieur, plutôt que ceux supportés par les structures de modèle de processus, sont nécessaires pour obtenir une correspondance satisfaisante avec vos données d'E/S mesurées ou simulées. Dans la structure du modèles de représentation d'état, la dynamique du système est représentée par les équations d'état et de sortie :

$\begin{array}{l} \dot{x} = A x + B u, \\ y = C x + D u . \end{array}$

x est un vecteur de variables d'état, choisi automatiquement par le software en fonction de l'ordre du modèle sélectionné. u représente le signal d'entrée, et y les signaux de sortie.

Pour utiliser une structure de modèles de représentation d'état, dans l'onglet Plant Identification, dans le menu Structure, sélectionnez State-Space Model. Ensuite cliquez sur Configure Structure pour ouvrir la boîte de dialogue State-Space Model Structure.

Utilisez la boîte de dialogue pour spécifier l'ordre du modèle, le retard et les caractéristiques de la traversée. Si vous n'êtes pas sûr de l'ordre, sélectionnez Pick best value in the range, et saisissez une série d'ordres. Dans ce cas, lorsque vous cliquez sur Estimate dans l'onglet Plant Estimation, le software affiche un graphique à barres des valeurs singulières de Hankel. Choisissez un ordre de modèle égal au nombre de valeurs singulières de Hankel qui contribuent de manière significative à la dynamique du système.

Lorsque vous choisissez une structure de modèle de représentation d'état, le graphique d'identification affiche une courbe de réponse du système physique (bleue) uniquement s'il existe un modèle estimé valide. Par exemple, si vous changez de structure après avoir estimé un modèle de processus, l'équivalent de la représentation état du modèle estimé s'affiche. Si vous modifiez l'ordre du modèle, la courbe de réponse du système physique disparaît jusqu'à ce qu'une nouvelle estimation soit effectuée.

Lorsque vous utilisez la structure du modèle de représentation d'état, vous ne pouvez pas interagir directement avec les paramètres du modèle. Le modèle identifié doit donc être considéré comme non structuré, sans signification physique attachée aux variables d'état du modèle.

Cependant, vous pouvez régler graphiquement le retard d'entrée et le gain global du modèle. Lorsque vous sélectionnez un modèle de représentation d'état avec un retard, le retard est représenté sur le graphique par une barre verticale orange. Faites glisser cette barre horizontalement pour modifier la valeur du retard. Faites glisser la courbe de réponse du système physique (bleue) vers le haut et le bas pour ajuster le gain du modèle.

Modèles de système physique existants

Tous les modèles de système physique précédemment importés ou identifiés sont répertoriés dans la zonePlant List.

Vous pouvez définir la structure du modèle et initialiser les valeurs des paramètres du modèle à l'aide d'un de ces système physique. Pour ce faire, dans l'onglet Plant Identification, dans le menu Structure, sélectionnez le modèle linéaire de système physique.

Si le système physique que vous sélectionnez est un modèle de processus (objet idproc (System Identification Toolbox)), PID Tuner utilise sa structure pour le système physique identifié. Si le système physique est d'un autre type de modèle, PID Tuner utilise la structure du modèle de représentation d'état. L’application initialise les paramètres estimés sur la base du système physique sélectionné.

Passage d'une structure de modèle à une autre

Lorsque vous passez d'une structure de modèle à une autre, le software préserve autant que possible les caractéristiques du modèle (emplacements des pôles/zéros, gain, retard). Par exemple, lorsque vous passez d'un modèle à un pôle à un modèle à deux pôles, les valeurs existantes de T₁, T_z, τ etK sont conservées, T₂ est initialisé à une valeur par défaut (ou précédemment attribuée, le cas échéant).

Estimation des valeurs des paramètres

Une fois que vous avez sélectionné une structure de modèle, vous disposez de plusieurs options pour ajuster manuellement ou automatiquement les valeurs des paramètres afin d'obtenir une bonne correspondance entre la réponse estimée du modèle et vos données d'entrée/sortie mesurées ou simulées. Pour un exemple qui illustre toutes ces options, veuillez consulter :

Estimer de manière interactive les paramètres du système physique à partir des données de réponse (Control System Toolbox™)
Interactively Estimate Plant from Measured or Simulated Response Data (Simulink Control Design) Simulink^® Control Design™)

PID Tuner n'effectue pas une initialisation intelligente des paramètres du modèle lorsqu'une structure de modèle est sélectionnée. Au contraire, les valeurs initiales des paramètres du modèle, reflétées dans le graphique, sont des valeurs médianes choisies arbitrairement. Si vous avez besoin d'un bon point de départ avant de régler manuellement les valeurs des paramètres, utilisez l'option Initialize and Estimate de l'onglet Plant Identification.

Traitement des conditions initiales

Dans certains cas, la réponse du système est fortement influencée par les conditions initiales. Ainsi, une description de la relation entre l'entrée et la sortie sous la forme d'une fonction de transfert est insuffisante pour s'adapter aux données observées. Cela est particulièrement vrai pour les systèmes contenant des modes faiblement amortis. PID Tuner vous permet d'estimer les conditions initiales en plus des paramètres du modèle de sorte que la somme de la réponse des conditions initiales et de la réponse des entrées corresponde bien à la sortie observée. Utilisez la boîte de dialogue Estimation Options pour spécifier comment les conditions initiales doivent être traitées pendant l'estimation automatique. Par défaut, le traitement de la condition initiale (fixation à des valeurs nulles ou estimation) est automatiquement effectué par l'algorithme d'estimation. Toutefois, vous pouvez imposer un certain choix en utilisant le menu « Initial Conditions ».

Les conditions initiales ne peuvent être estimées qu'avec l'estimation automatique. Contrairement aux paramètres du modèle, elles ne peuvent pas être modifiées manuellement. Cependant, une fois estimées, elles restent fixées sur leurs valeurs estimées, à moins que la structure du modèle ne soit modifiée ou que de nouvelles données d'identification ne soient importées.

Si vous modifiez les paramètres du modèle après avoir effectué une estimation automatique, la réponse du modèle présentera une contribution fixe (c'est-à-dire indépendante des paramètres du modèle) à partir des conditions initiales. Dans le graphique suivant, les effets des conditions initiales ont été identifiés comme étant particulièrement significatifs. Lorsque le retard est ajusté par la suite, la partie de la réponse située à gauche du marqueur de retard d'entrée (le régulateur τ) provient uniquement des conditions initiales. La partie située à droite du régulateur τ contient les effets du signal d'entrée ainsi que des conditions initiales.