polyval

R2026b

Évaluation de polynôme

Syntaxe

y = polyval(coeffs,x)

[y,delta] = polyval(coeffs,x,fitStats)

y = polyval(coeffs,x,[],centerScale)

[y,delta] = polyval(coeffs,x,fitStats,centerScale)

Description

y = polyval(coeffs,x) évalue le polynôme défini par le vecteur de coefficients coeffs à chaque point de x. Le vecteur coeffs est de longueur n+1 et contient les coefficients d’un polynôme de degré n nommé p en puissances décroissantes :

$$p(x)=\mathrm{coeffs}(1)\cdot x^n+\mathrm{coeffs}(2)\cdot x^{n-1}+\mathrm{...}+\mathrm{coeffs}(n)\cdot x+\mathrm{coeffs}(n+1).$$

Les coefficients polynomiaux de coeffs peuvent être calculés à diverses fins par des fonctions comme polyint, polyder et polyfit mais vous pouvez spécifier n’importe quel vecteur pour les définir.

Pour évaluer un polynôme au sens matriciel, utilisez plutôt polyvalm.

[y,delta] = polyval(coeffs,x,fitStats) utilise la structure de sortie facultative fitStats produite par polyfit pour générer des estimations d’erreur. delta est une estimation de l’erreur standard de prédiction d’une observation future en x par coeffs(x).

y = polyval(coeffs,x,[],centerScale) ou [y,delta] = polyval(coeffs,x,fitStats,centerScale) évalue le polynôme aux points normalisés $$\frac{x-centerScale(1)}{centerScale(2)}$$, où centerScale est généré par polyfit. Utilisez la seconde syntaxe pour évaluer un polynôme ajusté et calculer les estimations d’erreur avec les coefficients, statistiques d’ajustement et paramètres de normalisation indiqués par polyfit.

Exemples

Évaluer un polynôme en plusieurs points

Évaluez le polynôme $p\left(x\right)=3x^2+2x+1$ aux points $x=5,7,9$. Les coefficients polynomiaux peuvent être représentés par le vecteur [3 2 1].

coeffs = [3 2 1];
x = [5 7 9];
y = polyval(coeffs,x)

y = 1×3

    86   162   262

Intégrer un polynôme quartique

Évaluez l’intégrale définie.

$$I={\int }_{-1}^3\left(3x^4-4x^2+10x-25\right)dx.$$

Créez un vecteur pour représenter le polynôme à intégrer $$3x^4-4x^2+10x-25$$. Le terme $x^3$ est absent et a donc le coefficient 0.

coeffs = [3 0 -4 10 -25];

Utilisez polyint pour intégrer le polynôme avec une constante d’intégration égale à 0.

q = polyint(coeffs)

q = 1×6

    0.6000         0   -1.3333    5.0000  -25.0000         0

Déterminez la valeur de l’intégrale en évaluant q aux limites d’intégration.

a = -1;
b = 3;
I = diff(polyval(q,[a b]))

I = 
49.0667

Régression linéaire avec estimation d’erreurs

Ajustez un modèle linéaire sur un jeu de points de données et tracez les résultats, en incluant une estimation de l’intervalle de prédiction à 95 %.

Créez quelques exemples de vecteurs de points de données (x, y). Utilisez polyfit pour ajuster un polynôme du premier degré sur les données. Spécifiez deux sorties pour renvoyer les coefficients de l'ajustement linéaire ainsi que la structure d’estimation d’erreurs.

x = 0:100; 
y = -0.3*x + 2*randn(1,101); 
[coeffs,fitStats] = polyfit(x,y,1);

Évaluez le polynôme du premier degré aux points de x. Spécifiez la structure d’estimation d’erreurs en tant que troisième entrée pour que polyval calcule une estimation d’erreur standard. L’estimation de l’erreur standard est renvoyée dans delta.

[yfit,delta] = polyval(coeffs,x,fitStats);

Tracez les données d'origine, l'ajustement linéaire et l’intervalle de prédiction à 95 % $yfit\pm 2\Delta$.

plot(x,y,"o")
hold on
plot(x,yfit)

xinterval = [x flip(x)];
yinterval = [yfit-2*delta flip(yfit)+2*delta];
interval = fill(xinterval,yinterval,"yellow",FaceAlpha=0.2);

legend("Sample data","First-degree polynomial","95% prediction interval")
hold off

Normaliser les données pour améliorer le conditionnement numérique

Créez un échantillon de données démographiques pour les années 1750 à 2000 et tracez les points de données.

x = 1750:25:2000;
y = 1e6*[791 856 978 1050 1262 1544 1650 2532 6122 8170 11560];

Utilisez polyfit pour ajuster un polynôme du cinquième degré sur les données. Vous pouvez améliorer le conditionnement numérique en normalisant le vecteur de requête avant d’ajuster un polynôme. Cet exemple consiste à normaliser les données year et à calculer un ajustement polynomial du cinquième degré. La fonction renvoie également le centre et l’échelle utilisés pour la normalisation.

[coeffsNorm,~,centerScale] = polyfit(x,y,5,Normalize=true);

Normalisez les points de requête avec le même centre et la même échelle, puis évaluez le polynôme en spécifiant centerScale lorsque vous appelez la fonction polyval. Tracez ensuite les résultats.

yfit = polyval(coeffsNorm,x,[],centerScale);

plot(x,y,"o")
hold on
plot(x,yfit)
legend("Sample data","Fifth-degree polynomial")
hold off

Arguments d'entrée

coeffs — Coefficients polynomiaux

vecteur

Coefficients polynomiaux, spécifiés sous forme de vecteur. coeffs est de longueur n+1 et contient les coefficients polynomiaux en puissances décroissantes, le degré polynomial étant n. Par exemple, le vecteur [1 0 1] représente le polynôme $$x^2+1$$.

Les coefficients polynomiaux de coeffs peuvent être calculés par des fonctions comme polyint, polyder et polyfit, mais vous pouvez spécifier n’importe quel vecteur pour les définir. Pour plus d’informations, consultez Créer et évaluer des polynômes.

Types de données : double | single
Support des nombres complexes : Oui

x — Points de requête

vecteur

Points de requête, spécifiés sous forme de vecteur. polyval évalue le polynôme coeffs aux points de x et renvoie les valeurs correspondantes de la fonction dans y.

Types de données : double | single
Support des nombres complexes : Oui

fitStats — Statistiques d’ajustement

structure

Statistiques d’ajustement, spécifiées sous forme de structure renvoyée par polyfit. La structure fitStats doit contenir les champs suivants :

Champ	Description
R	Facteur R triangulaire (éventuellement permuté) d’une décomposition QR de la matrice de Vandermonde de x
df	Degrés de liberté de l’ajustement
normr	Norme euclidienne des résidus
rsquared (depuis R2024a)	Coefficient de détermination (R au carré non ajusté)

centerScale — Valeurs de centre et de mise à l’échelle

vecteur à deux éléments

Valeurs de centre et de mise à l’échelle utilisées pour normaliser les points de requête de x avant d’évaluer le polynôme, spécifiées sous forme d’un vecteur à deux éléments.

Si vous utilisez polyfit avec Normalize=true pour calculer les coefficients polynomiaux, spécifiez centerScale lorsque vous appelez polyval pour normaliser les points de requête avec le même centre et la même échelle.

Arguments de sortie

y — Valeurs de la fonction

vecteur

Valeurs de la fonction, renvoyées sous forme d’un vecteur de même taille que les points de requête x. Ce vecteur contient le résultat de l’évaluation du polynôme coeffs à chaque point de x.

delta — Erreur standard de prédiction

vecteur

Erreur standard de prédiction, renvoyée sous forme d’un vecteur de même taille que les points de requête x.

En général, un intervalle de y ± Δ correspond à un intervalle de prédiction à environ 68 % pour les observations futures d’échantillons volumineux et y ± 2Δ correspond à un intervalle de prédiction à environ 95 %.

Si les coefficients de coeffs sont des estimations par moindres carrés calculées par polyfit et que les erreurs dans les données en entrée de polyfit sont indépendantes et normales avec une variance constante, y ± Δ est un intervalle de prédiction à au moins 50 %.

Capacités étendues

Tall arrays

Calculer avec des arrays possédant plus de rangées que la mémoire ne peut en contenir.

La fonction polyval supporte les tall arrays avec les notes d’usage et limitations suivantes :

Si x est un tall array, ce doit être un vecteur colonne.

Pour plus d’informations, consultez Tall array.

Génération de code C/C++
Générez du code C et C++ avec MATLAB® Coder™.

Génération de code GPU
Générez du code CUDA® pour les GPU NVIDIA® avec GPU Coder™.

Environnement basé sur les threads

Exécutez du code en arrière-plan avec MATLAB® backgroundPool ou accélérez le code avec Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool.

La fonction polyval supporte entièrement les environnements basés sur des threads. Pour plus d’informations, consultez Run MATLAB Functions in Thread-Based Environment.

GPU Arrays

Accélérez le code en exécutant les calculs sur une unité de traitement graphique (GPU) avec Parallel Computing Toolbox™.

La fonction polyval supporte entièrement les GPU arrays. Pour exécuter la fonction sur un GPU, spécifiez les données en entrée en tant que gpuArray (Parallel Computing Toolbox). Pour plus d’informations, consultez Exécuter les fonctions MATLAB sur un GPU (Parallel Computing Toolbox).

Distributed arrays

Divisez les tableaux volumineux dans la mémoire combinée de votre cluster avec Parallel Computing Toolbox™.

La fonction polyval supporte entièrement les distributed arrays. Pour plus d’informations, consultez Exécuter les fonctions MATLAB avec des tableaux distribués (Parallel Computing Toolbox).

Historique des versions

Introduit avant R2006a

Voir aussi

Fonctions

• polyfit | polyvalm | polyder | polyint

Rubriques

• Créer et évaluer des polynômes
• Programmatic Fitting
• Régression linéaire avec une seule variable prédictive