polyval

Évaluation de polynôme

Syntaxe

y = polyval(p,x)

[y,delta] = polyval(p,x,S)

y = polyval(p,x,[],mu)

[y,delta] = polyval(p,x,S,mu)

Description

y = polyval(p,x) évalue le polynôme p à chaque point de x. L’argument p est un vecteur de longueur n+1 dont les éléments sont les coefficients (en puissances décroissantes) d’un polynôme de degré n :

$$p(x)=p_1{x}^n+p_2{x}^{n-1}+\mathrm{...}+p_{n}x+p_{n+1}.$$

Les coefficients polynomiaux de p peuvent être calculés à diverses fins par des fonctions comme polyint, polyder et polyfit mais vous pouvez spécifier n’importe quel vecteur pour les définir.

Pour évaluer un polynôme au sens matriciel, utilisez plutôt polyvalm.

[y,delta] = polyval(p,x,S) utilise la structure de sortie facultative S produite par polyfit pour générer des estimations d’erreur. delta est une estimation de l’erreur standard de prédiction d’une observation future en x par p(x).

y = polyval(p,x,[],mu) ou [y,delta] = polyval(p,x,S,mu) utilise la sortie facultative mu produite par polyfit pour centrer les données et les mettre à l’échelle. mu(1) est mean(x) et mu(2) est std(x). À l’aide de ces valeurs, polyval centre x sur zéro et le met à l’échelle pour obtenir un écart-type unitaire,

$$\widehat{x}=\frac{x-\overline{x}}{{\sigma }_x}.$$

Cette transformation par centrage et mise à l’échelle améliore les propriétés numériques du polynôme.

Exemples

Évaluer un polynôme en plusieurs points

Évaluez le polynôme $\mathit{p}\left(\mathit{x}\right)=3{\mathit{x}}^2+2\mathit{x}+1$ aux points $\mathit{x}=5,7,9$. Les coefficients polynomiaux peuvent être représentés par le vecteur [3 2 1].

p = [3 2 1];
x = [5 7 9];
y = polyval(p,x)

y = 1×3

    86   162   262

Intégrer un polynôme quartique

Évaluez l’intégrale définie.

$$I={\int }_{-1}^3(3x^4-4x^2+10x-25)dx.$$

Créez un vecteur pour représenter le polynôme à intégrer $$3x^4-4x^2+10x-25$$. Le terme ${\mathit{x}}^3$ est absent et a donc le coefficient 0.

p = [3 0 -4 10 -25];

Utilisez polyint pour intégrer le polynôme avec une constante d’intégration égale à 0.

q = polyint(p)

q = 1×6

    0.6000         0   -1.3333    5.0000  -25.0000         0

Déterminez la valeur de l’intégrale en évaluant q aux limites d’intégration.

a = -1;
b = 3;
I = diff(polyval(q,[a b]))

I = 
49.0667

Régression linéaire avec estimation d’erreurs

Ajustez un modèle linéaire sur un jeu de points de données et tracez les résultats, en incluant une estimation de l’intervalle de prédiction à 95 %.

Créez quelques exemples de vecteurs de points de données (x,y). Utilisez polyfit pour ajuster un polynôme du premier degré sur les données. Spécifiez deux sorties pour renvoyer les coefficients de l'ajustement linéaire ainsi que la structure d’estimation d’erreurs.

x = 1:100; 
y = -0.3*x + 2*randn(1,100); 
[p,S] = polyfit(x,y,1)

p = 1×2

   -0.3142    0.9614

S = struct with fields:
           R: [2×2 double]
          df: 98
       normr: 22.7673
    rsquared: 0.9407

Évaluez la correspondance du polynôme de premier degré dans p au niveau des points de x. Spécifiez la structure d’estimation d’erreurs en tant que troisième entrée pour que polyval calcule une estimation d’erreur standard. L’estimation de l’erreur standard est renvoyée dans delta.

[y_fit,delta] = polyval(p,x,S);

Tracez les données d'origine, l'ajustement linéaire et l’intervalle de prédiction à 95 % $\mathit{y}\pm 2\Delta$.

plot(x,y,'bo')
hold on
plot(x,y_fit,'r-')
plot(x,y_fit+2*delta,'m--',x,y_fit-2*delta,'m--')
title('Linear Fit of Data with 95% Prediction Interval')
legend('Data','Linear Fit','95% Prediction Interval')

Utiliser le centrage et la mise à l’échelle pour améliorer les propriétés numériques

Créez une table de données démographiques pour les années 1750 à 2000 et tracez les points de données.

year = (1750:25:2000)';
pop = 1e6*[791 856 978 1050 1262 1544 1650 2532 6122 8170 11560]';
T = table(year, pop)

T=11×2 table
    year       pop   
    ____    _________

    1750     7.91e+08
    1775     8.56e+08
    1800     9.78e+08
    1825     1.05e+09
    1850    1.262e+09
    1875    1.544e+09
    1900     1.65e+09
    1925    2.532e+09
    1950    6.122e+09
    1975     8.17e+09
    2000    1.156e+10

plot(year,pop,'o')

Utilisez polyfit avec trois sorties pour ajuster un polynôme du 5e degré en utilisant le centrage et la mise à l’échelle, ce qui améliore les propriétés numériques du problème. polyfit centre les données sur year au niveau 0 et les met à l'échelle pour obtenir un écart-type de 1, ce qui évite la création d’une matrice de Vandermonde mal conditionnée dans le calcul de l'ajustement.

[p,~,mu] = polyfit(T.year, T.pop, 5);

Utilisez polyval avec quatre entrées pour évaluer p avec les années mises à l’échelle, (year-mu(1))/mu(2). Tracez les résultats par rapport aux années d’origine.

f = polyval(p,year,[],mu);
hold on
plot(year,f)
hold off

Arguments d'entrée

p — Coefficients polynomiaux

vecteur

Coefficients polynomiaux, spécifiés sous forme de vecteur. Par exemple, le vecteur [1 0 1] représente le polynôme $$x^2+1$$, et le vecteur [3.13 -2.21 5.99] représente le polynôme $$3.13x^2-2.21x+5.99$$.

Pour plus d’informations, consultez Créer et évaluer des polynômes.

Types de données : single | double
Support des nombres complexes : Oui

x — Points de requête

vecteur

Points de requête, spécifiés sous forme de vecteur. polyval évalue le polynôme p aux points de x et renvoie les valeurs correspondantes de la fonction dans y.

Types de données : single | double
Support des nombres complexes : Oui

S — Structure d’estimation des erreurs

structure

Structure d’estimation des erreurs. Cette structure est la deuxième sortie dans la syntaxe [p,S] = polyfit(x,y,n). Spécifiez S comme entrée de la fonction polyval pour obtenir des estimations d’erreur. S contient les champs du tableau suivant.

Champ	Description
R	Facteur R triangulaire (éventuellement permuté) d’une décomposition QR de la matrice de Vandermonde de x
df	Degrés de liberté
normr	Norme des résidus
rsquared	Coefficient de détermination ou R au carré (non ajusté)

Si les données de y sont aléatoires, une estimation de la matrice de covariance de p est (Rinv*Rinv')*normr^2/df, où Rinv est l’inverse de R.

mu — Valeurs de centrage et de mise à l’échelle

vecteur à deux éléments

Valeurs de centrage et de mise à l’échelle, spécifiées sous forme d’un vecteur à deux éléments. Ce vecteur est une sortie facultative de [p,S,mu] = polyfit(x,y,n) qui est utilisée pour améliorer les propriétés numériques de l’ajustement et de l’évaluation du polynôme p. La valeur mu(1) est mean(x) et mu(2) est std(x). Ces valeurs permettent de centrer les points de requête dans x sur zéro avec un écart-type unitaire.

Spécifiez mu pour évaluer p aux points mis à l’échelle (x - mu(1))/mu(2).

Arguments de sortie

y — Valeurs de la fonction

vecteur

Valeurs de la fonction, renvoyées sous forme d’un vecteur de même taille que les points de requête x. Ce vecteur contient le résultat de l’évaluation du polynôme p à chaque point de x.

delta — Erreur standard de prédiction

vecteur

Erreur standard de prédiction, renvoyée sous forme d’un vecteur de même taille que les points de requête x. En général, un intervalle de y ± Δ correspond à un intervalle de prédiction à environ 68 % pour les observations futures d’échantillons volumineux et y ± 2Δ correspond à un intervalle de prédiction à environ 95 %.

Si les coefficients de p sont des estimations par moindres carrés calculées par polyfit et que les erreurs dans les données en entrée de polyfit sont indépendantes et normales avec une variance constante, y ± Δ est un intervalle de prédiction à au moins 50 %.

Capacités étendues

Tall arrays

Calculer avec des arrays possédant plus de rangées que la mémoire ne peut en contenir.

La fonction polyval supporte les tall arrays avec les notes d’usage et limitations suivantes :

Si x est un tall array, ce doit être un vecteur colonne.

Pour plus d’informations, consultez Tall array.

Génération de code C/C++
Générez du code C et C++ avec MATLAB® Coder™.

Environnement basé sur les threads

Exécutez du code en arrière-plan avec MATLAB® backgroundPool ou accélérez le code avec Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool.

Cette fonction supporte entièrement les environnements basés sur des threads. Pour plus d’informations, consultez Run MATLAB Functions in Thread-Based Environment.

GPU Arrays

Accélérez le code en exécutant les calculs sur une unité de traitement graphique (GPU) avec Parallel Computing Toolbox™.

La fonction polyval supporte entièrement les GPU arrays. Pour exécuter la fonction sur un GPU, spécifiez les données en entrée en tant que gpuArray (Parallel Computing Toolbox). Pour plus d’informations, consultez Exécuter les fonctions MATLAB sur un GPU (Parallel Computing Toolbox).

Distributed arrays

Divisez les tableaux volumineux dans la mémoire combinée de votre cluster avec Parallel Computing Toolbox™.

Cette fonction supporte entièrement les distributed arrays. Pour plus d’informations, consultez Exécuter les fonctions MATLAB avec des tableaux distribués (Parallel Computing Toolbox).

Historique des versions

Introduit avant R2006a

Voir aussi

polyfit | polyvalm | polyder | polyint

Rubriques

• Créer et évaluer des polynômes
• Programmatic Fitting